Список правильных многомерных многогранников и соединений

Таблица показывает сводку правильных многогранников по размерностям.

* 1, если размерность имеет вид 2^k − 1; 2, если размерность является степенью двойки; 0 в противном случае.

Не существует правильных звёздчатых замощений в евклидовом пространстве любой размерности.

Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет зеркальные "плоскости" как узлы, и помещает кружок вокруг узла, если точка не лежит на плоскости. Отрезок, { }, — это точка p и зеркальный образ точки p, а также отрезок между ними.

Одномерный многогранник (1-многогранник) — это замкнутый отрезок, ограниченный двумя конечными точками. 1-многогранник является правильным по определению и представляется символом Шлефли { }[1][2] или диаграммой Коксетера с единственным помеченным кружком узлом, . Норман Джонсон дал им название дайтел и символ Шлефли { } [3].

Будучи тривиальным в качестве многогранника, дайтел возникает в качестве рёбер многоугольников и многогранников[4]. Он используется в определении однородных призм (как в символе Шлефли { }×{p}) или в диаграмме Коксетера как прямое произведение отрезка и правильного многоугольника [5].

Двумерные многогранники называются многоугольниками. Правильные многоугольники имеют равные стороны и вписаны в окружность. Правильный p-угольник представляется символом Шлефли {p}.

Обычно только выпуклые многоугольники считаются правильными, но звёздчатые многоугольники наподобие пентаграммы можно также считать правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединение происходит другим путём, при котором окружность обходится более одного раза.

Звёздчатые многоугольники следует называть скорее невыпуклыми, чем вогнутыми, поскольку пересечение рёбер не образует новых вершин и все вершины находятся на окружности.

Выпуклые

Символ Шлефли {p} представляет правильный p-угольник.

Название	Треугольник (2-симплекс)	Квадрат (2-ортоплекс) (2-куб)	Пятиугольник	Шестиугольник	Семиугольник	Восьмиугольник
Шлефли	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Симметрия	D3, [3]	D4, [4]	D5, [5]	D6, [6]	D7, [7]	D8, [8]
Коксетер
Рисунок
Название	Девятиугольник	Десятиугольник	Одиннадцатиугольник	Двенадцатиугольник	Тринадцатиугольник	Четырнадцатиугольник
Шлефли	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Симметрия	D9, [9]	D10, [10]	D11, [11]	D12, [12]	D13, [13]	D14, [14]
Дынкин
Рисунок
Название	Пятнадцатиугольник	Шестнадцатиугольник	Семнадцатиугольник	Восемнадцатиугольник	Девятнадцатиугольник	Двадцатиугольник	...p-угольник
Шлефли	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{p}
Симметрия	D15, [15]	D16, [16]	D17, [17]	D18, [18]	D19, [19]	D20, [20]	Dp, [p]
Дынкин
Рисунок

Сферические

Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Он может существовать как невырожденный в некоторых неевклидовых пространствах, таких как поверхность сферы или тора.

Название	Одноугольник	Двуугольник
Символ Шлефли	{1}	{2}
Симметрия	D1, [ ]	D2, [2]
Коксетер diagram	или
Рисунок

Звёзды

Существует бесконечно много правильных звёздчатых многогранников в двумерном пространстве (т.е. многоугольников), символы Шлефли которых являются рациональными числами {n/m}. Они называются звёздчатыми многоугольниками и имеют то же самое расположение вершин, что и у выпуклого многоугольника.

В общем случае для любого натурального числа n и для всех m, таких, что m < n/2 и m, n взаимно просты, существуют n-точечные правильные звёзды с символами Шлефли {n/m} (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}) .

Название	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	...n-граммы
Шлефли	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{p/q}
Симметрия	D5, [5]	D7, [7]		D8, [8]	D9, [9],		D10, [10]	Dp, [p]
Коксетер
Рисунок

Правильные звёздчатые многоугольники с числом сторон до 20

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Пространственные многоугольники

В 3-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник [6] называется антипризматическим многоугольником и он имеет то же расположение вершин, что и у антипризмы, и его рёбра являются подмножеством рёбер антипризмы, соединяющие зигзагом вершины верхнего и нижнего многоугольников.

Пример правильного пространственного зигзаг-многоугольника

Шестиугольник	Восьмиугольник	Десятиугольник
D3d, [2+,6]	D4d, [2+,8]	D5d, [2+,10]
{3}#{ }	{4}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

В 4-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник может иметь вершины на торе Клиффорда и связан с вращением Клиффорда. В отличие от антипризматичных пространственных многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Их можно видеть в многоугольниках Петри выпуклых правильных четырёхмерных многогранников, видимые как правильные плоские многоугольники периметров проекций Коксетера:

Пятиугольник	Восьмиугольник	Двенадцатиугольник	Тридцатиугольник
Пятиячейник	Шестнадцатиячейник	Двадцатичетырёхъячейник	Шестисотячейник

В трёхмерном пространстве правильный многогранник с символом Шлефли {p,q} и диаграммой Коксетера имеет правильные грани вида {p} и правильную вершинную фигуру {q}.

Вершинная фигура (многогранника) является многоугольником, получаемым соединением вершин, отстоящих на одно ребро от заданной вершины. Для правильных трёхмерных многогранников, эта вершинная фигура является всегда правильным (и планарным) многоугольником.

Существование правильного многогранника {p,q} ограничено неравенством, относящимся к угловому дефекту вершинной фигуры:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}}$ : Многогранник (существует в евклидовом 3-мерном пространстве)

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}}$ : Евклидова плоская мозаика

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}}$ : Замощение гиперболической плоскости

Перенумеровав перестановки, мы найдём 5 выпуклых форм, 4 звёздчатые формы и 3 плоских замощения, все с многоугольниками {p} и {q} из списка: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.

Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик.

Выпуклые

Пять выпуклых правильных многогранников называются платоновыми телами. Вершинная фигура указана вместе с числом вершин. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 2.

Название	Шлефли {p,q}	Коксетер	Рисунок (прозрачный)	Рисунок (тело)	Рисунок (сфера)	Граней {p}	Рёбер	Вершин {q}	Симметрия	Двойственный
Тетраэдр (3-симплекс)	{3,3}					4 {3}	6	4 {3}	Td [3,3] (*332)	(самодвойственен)
Шестигранник Куб (3-куб)	{4,3}					6 {4}	12	8 {3}	Oh [4,3] (*432)	Октаэдр
Октаэдр (3-ортоплекс)	{3,4}					8 {3}	12	6 {4}	Oh [4,3] (*432)	Куб
Додекаэдр	{5,3}					12 {5}	30	20 {3}	Ih [5,3] (*532)	Икосаэдр
Икосаэдр	{3,5}					20 {3}	30	12 {5}	Ih [5,3] (*532)	Додекаэдр

Сферические

В сферической геометрии существуют правильные сферические многогранники (мозаики на cфере), которые в нормальном случае являются вырожденными многогранниками. Это осоэдры {2,n} и двойственные им диэдры {n,2}. Коксетер называет такие случаи "несобственными" замощениями [7].

Несколько первых примеров (n от 2 до 6) приведены ниже.

Осоэдры

Название	Шлефли {2,p}	Коксетер diagram	Рисунок (sphere)	Граней {2}π/p	Рёбер	Вершин {p}	Симметрия	Двойственный
Двуугольный осоэдр	{2,2}			2 {2}π/2	2	2 {2}π/2	D2h [2,2] (*222)	Самодвойственен
Треугольный осоэдр	{2,3}			3 {2}π/3	3	2 {3}	D3h [2,3] (*322)	Треугольный диэдр
Квадратный осоэдр	{2,4}			4 {2}π/4	4	2 {4}	D4h [2,4] (*422)	Квадратный диэдр
Пятиугольный осоэдр	{2,5}			5 {2}π/5	5	2 {5}	D5h [2,5] (*522)	Пятиугольный диэдр
Шестиугольный осоэдр	{2,6}			6 {2}π/6	6	2 {6}	D6h [2,6] (*622)	Шестиугольный диэдр

Диэдры

Название	Шлефли {p,2}	Диаграмма Коксетера	Рисунок (сфера)	Граней {p}	Рёбер	Вершин {2}	Симметрия	Двойственный
Двуугольный диэдр	{2,2}			2 {2}π/2	2	2 {2}π/2	D2h [2,2] (*222)	Самодвойственен
Треугольный диэдр	{3,2}			2 {3}	3	3 {2}π/3	D3h [3,2] (*322)	Треугольный осоэдр
Квадратный диэдр	{4,2}			2 {4}	4	4 {2}π/4	D4h [4,2] (*422)	Квадратный осоэдр
Пятиугольный диэдр	{5,2}			2 {5}	5	5 {2}π/5	D5h [5,2] (*522)	Пятиугольный осоэдр
Шестиугольный диэдр	{6,2}			2 {6}	6	6 {2}π/6	D6h [6,2] (*622)	Шестиугольный осоэдр

Звёздчатые диэдры и осоэдры также существуют, такие как {5/2,2} и {2,5/2}.

Звёзды

Правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера — Пуансо и их существует четыре. Они основываются на расположении вершин додекаэдра {5,3} и икосаэдра {3,5}:

Как cферические мозаики эти звёздчатые формы перекрывают сферу несколько раз, что называется их плотностью. Для этих форм плотность равна 3 или 7. Рисунки мозаик показывают грани отдельных сферических многоугольников жёлтым цветом.

Название	Рисунок (прозрачный)	Рисунок (непрозрачный)	Рисунок (сферический)	Диаграмма образования звёздчатой формы	Шлефли {p,q} и Коксетер	Граней {p}	Рёбер	Вершин {q} Фигура	χ	Плот- ность	Симметрия	Двойственный
Малый звёздчатый додекаэдр					{5/2,5}	12 {5/2}	30	12 {5}	−6	3	Ih [5,3] (*532)	Большой додекаэдр
Большой додекаэдр					{5,5/2}	12 {5}	30	12 {5/2}	−6	3	Ih [5,3] (*532)	Малый звёздчатый додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр					{5/2,3}	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Ih [5,3] (*532)	Большой икосаэдр
Большой икосаэдр					{3,5/2}	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Ih [5,3] (*532)	Большой звёздчатый додекаэдр

Косые многогранники

Правильный косой многогранник является обобщением множества правильных многогранников, в котором допускается непланарность вершинных фигур.

Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n}, имеющих вершинную фигуру {l,m}, m l-угольников вокруг вершины с n-угольными дырами. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, представляющими зигзаги между двумя плоскостями.

Для правильных косых многогранников, представленных символом {l,m|n}, выполняется равенство:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Четыре из них можно видеть в 4-мерном пространстве как множество граней четырёх правильных четырёхмерных многогранников, имеющих одно и то же расположение вершин и расположение рёбер:

{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}	{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}

Правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ имеют ячейки вида ${\displaystyle \{p,q\}}$, грани вида ${\displaystyle \{p\}}$, рёберные фигуры ${\displaystyle \{r\}}$ и вершинные фигуры ${\displaystyle \{q,r\}}$.

• Вершинная фигура (4-мерного многогранника) является (3-мерным) многогранником, образованным соседними к данной вершине вершинами многогранника. Для правильных четырёхмерных многогранников эта вершинная фигура является правильным (3-мерным) многогранником.
• Рёберной фигурой является многоугольник, образованный прилегающими к ребру гранями. Для правильных четырёхмерных многогранников рёберной фигурой всегда будет правильный многоугольник.

Существование правильных четырёхмерных многогранников ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ограничено существованием правильного многогранника ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$. Для 4-мерных многогранников предлагается использовать название "полихор"[8][9]

Каждый вид может существовать в пространстве, зависящем от следующего выражения:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : Гиперсферические 3-мерные соты или 4-мерные многогранники

${\displaystyle =0}$ : Евклидовы 3-мерные соты

${\displaystyle <0}$ : Гиперболические 3-мерные соты

Эти ограничения допустимы для 21 форм — 6 форм выпуклы, 10 не выпуклы, одна является евклидовыми 3-мерными сотами и 4 являются гиперболическими сотами.

Эйлерова характеристика ${\displaystyle \chi }$ четырёхмерного многогранника вычисляется по формуле ${\displaystyle \chi =V+F-E-C}$ и равна нулю для всех видов.

Выпуклые

6 выпуклых правильных четырёхмерных многогранников показаны в таблице ниже. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ) 0.

Название	Шлефли {p,q,r}	Коксетер	Ячейки {p,q}	Граней {p}	Рёбер {r}	Вершин {q,r}	Двойственный {r,q,p}
Пятиячейник (4-симплекс)	{3,3,3}		5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(самодвойственен)
Тессеракт (4-куб)	{4,3,3}		8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	Шестнадцатиячейник
Шестнадцатиячейник (4-ортоплекс)	{3,3,4}		16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	Тессеракт
Двадцатичетырёхъячейник	{3,4,3}		24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(самодвойственен)
Стодвадцатиячейник	{5,3,3}		120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	Шестисотъячейник
Шестисотъячейник	{3,3,5}		600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	Стодвадцатиячейник

Пятиячейник	Тессеракт	Шестнадцати- ячейник	Двадцати- четырёхъячейник	Стодвадцати- ячейник	Шестисотъячейник
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Каркас (Многоугольник Петри) в косой ортогональной проекции
Ортогональная проекция
Тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине)	Кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	Кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	Кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Усечённая ромботриаконта- эдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Пентакиикоси- додекаэдральная оболочка (центрировано по вершине)
Диаграммы Шлегеля (перспективная проекция)
(центрировано по ячейке)	(центрировано по ячейке)	(центрировано по ячейке)	(центрировано по ячейке)	(центрировано по ячейке)	(центрировано по вершине)
Каркас стереографической проекции (гиперсферический)

Сферические

4-мерные диэдры и осоэдры существуют как правильные замощения 3-сферы.

Правильные 4-мерные диэдры (2 фасеты = 3-мерные грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} и их двойственные 4-мерные осоэдры (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Многогранники вида {2,p,2} являются одновременно 4-мерными диэдрами и осоэдрами. Существуют также формы {p,2,q}, которые имеют диэдральные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.

Правильные 4-мерные осоэдры как соты на 3-сфере

Шлефли {2,p,q}	Коксетер	Ячейки {2,p}π/q	Граней {2}π/p,π/q	Рёбер	Вершин	Вершинная фигура {p,q}	Симметрия	Двойственный
{2,3,3}		4 {2,3}π/3	6 {2}π/3,π/3	4	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}		6 {2,4}π/3	12 {2}π/4,π/3	8	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}		8 {2,3}π/4	12 {2}π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}		12 {2,5}π/3	30 {2}π/5,π/3	20	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}		20 {2,3}π/5	30 {2}π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Звёзды

Существует десять правильных 4-мерных звёздчатых многогранника, которые называются многогранниками Шлефли—Гесса. Их вершины располагаются на выпуклом стодвадцатиячейнике {5,3,3} и шестисотъячейнике {3,3,5}.

Людвиг Шлефли нашёл четыре из них и отбросил остальные шесть, поскольку не позволял нарушение эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F+V−E=2). Эдмунд Гесс (Edmund Hess, 1843–1903) завершил список в своей книге Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (, 1883) (Введение в учение о замощении сферы с учётом теории равногранных и равноугольных многогранников) .

Существует 4 расположения рёбер и 7 расположений граней в этих 10 правильных звёздчатых 4-мерных многогранниках, показанные как ортогональные проекции:

Название	Каркас	Тело	Шлефли {p, q, r} Коксетер	Ячеек {p, q}	Граней {p}	Рёбер {r}	Вершин {q, r}	Плот- ность	χ	Группа симметрии	Двойственный {r, q,p}
Икосаэдральный 120-ячейник (огранённый Шестисотячейник)			{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480	H4 [5,3,3]	Малый звёздчатый 120-ячейник
Малый звёздчатый 120-ячейник			{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480	H4 [5,3,3]	Икосаэдральный 120-ячейник
Большой 120-ячейник			{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H4 [5,3,3]	Самодвойственный
Великий 120-ячейник			{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0	H4 [5,3,3]	Большой звёздчатый 120-ячейник
Большой звёздчатый 120-ячейник			{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0	H4 [5,3,3]	Великий 120-ячейник
Великий звёздчатый 120-ячейник			{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H4 [5,3,3]	Самодвойственный
Большой великий 120-ячейник			{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480	H4 [5,3,3]	Большой икосаэдральный 120-ячейник
Большой икосаэдральный 120-ячейник (большой огранёный 600-ячейник)			{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H4 [5,3,3]	Великий большой 120-ячейник
Великий 600-ячейник			{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H4 [5,3,3]	Великий большой звёздчатый 120-ячейник
Большой великий 120-ячейник			{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H4 [5,3,3]	Великий 600-ячейник

Существует 4 несостоявшихся правильных звёздчатых перестановок многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существует, но они не покрывают гиперсферу конечным числом представлений.

В пятимерном пространстве правильные многогранники можно обозначить как ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$, где ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ является типом 4-грани, ${\displaystyle \{p,q\}}$ является типом ячейки, ${\displaystyle \{p\}}$ является типом 2-грани, ${\displaystyle \{s\}}$ является фигурой грани, ${\displaystyle \{r,s\}}$ является рёберной фигурой, а ${\displaystyle \{q,r,s\}}$ является вершинной фигурой.

Вершинная фигура (5-мерного многогранника) является 4-мерным многогранником, образованным вершинами, соседними с данной вершиной.

Рёберная фигура (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным гранями вокруг каждого ребра.

Фигура грани (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным ячейками вокруг каждой грани.

Правильный 5-мерный многогранник ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ существует, только если ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ и ${\displaystyle \{q,r,s\}}$ являются правильными четырёхмерными многогранниками.

В зависимости от значения

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

получим тип пространства

${\displaystyle <1}$: Сферическое 4-мерное замощение или 5-мерный многогранник

${\displaystyle =1}$: Евклидово 4-мерное замощение

${\displaystyle >1}$: Гиперболическое 4-мерное замощение

Из этих ограничений получаем 3 выпуклых многогранника, нуль невыпуклых многогранников, 3 4-мерных замощения и 5 гиперболических 4-мерных замощений. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пятимерном пространстве и выше.

Выпуклые

В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников [10].

Название	Символ Шлефли {p1,...,pn−1}	Коксетер	k-граней	Тип фасеты	Вершинная фигура	Двойственный
n-симплекс	{3n−1}	...	${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}}$	{3n−2}	{3n−2}	Самодвойственен
n-куб	{4,3n−2}	...	${\displaystyle 2^{n-k}{n \choose k}}$	{4,3n−3}	{3n−2}	n-ортоплекс
n-ортоплекс	{3n−2,4}	...	${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$	{3n−2}	{3n−3,4}	n-куб

Существуют также несобственные случаи, в которых некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является несобственным правильным сферическим многогранником в случае, если {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, и {2,...p,q,r} является несобственным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники можно использовать как фасеты, дающие формы вида {p,q,...2...y,z}.

Пятимерные пространства

Название	Символ Шлефли {p,q,r,s} Коксетер	Число фасет (четырёхмерных граней) {p,q,r}	Ячеек (трёхмерных граней) {p,q}	Граней (двумерных) {p}	Рёбер	Вершин	Фигура при грани {s}	Рёберная фигура {r,s}	Вершинная фигура {q,r,s}
Гексатерон	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	15	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
Пентеракт	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-ортоплекс	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	10	{4}	{3,4}	{3,3,4}

Гексатерон

Пентеракт

5-ортоплекс

Шестимерное пространство

Название	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней (2D)	Ячеек (3D)	4D-граней	5D-граней	χ
6-симплекс	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	0
Хексеракт	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	0
6-ортоплекс	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64	0

6-мерный симплекс

Хексеракт

6-мерный ортоплекс

Семимерное пространство

Название	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней (2D)	Ячеек (3D)	4D-граней	5D-граней	6D-граней	χ
7-симплекс	{3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	2
Хептеракт	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	2
7-ортоплекс	{3,3,3,3,3,4}	14	84	280	560	672	448	128	2

7-симплекс

Хептеракт

7-ортоплекс

Восьмимерное пространство

Название	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней (2D)	Ячеек (3D)	4D-граней	5D-граней	6D-граней	7D-граней	χ
8-симплекс	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	0
Октеракт	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	0
8-ортоплекс	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0

8-симплекс

Октеракт

8-ортоплекс

Девятимерное пространство

Название	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней (2D)	Ячеек (3D)	4D-граней	5D-граней	6D-граней	7D-граней	8D-граней	χ
9-симплекс	{38}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	2
Энтенеракт	{4,37}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	2
9-ортоплекс	{37,4}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-симплекс

Энтенеракт

9-ортоплекс

Десятимерное пространство

Название	Шлефли	Вершин	Рёбер	Граней (2D)	Ячеек (3D)	4D-граней	5D-граней	6D-граней	7D-граней	8D-граней	9D-граней	χ
10-симплекс	{39}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	0
Декеракт	{4,38}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	0
10-ортоплекс	{38,4}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	0

10-симплекс

Декеракт

10-ортоплекс

...

Проективный правильный (n+1)-многогранник существует, если исходное правильное n-сферическое замощение {p,q,...} центрально симметрично. Такие многогранники называются полу-{p,q,...}, и содержат вполовину меньше элементов. Коксетер даёт им символ {p,q,...}/2, в то время как Макмуллен пишет {p,q,...}_h/2, где h — число Кокстера. [11]

Правильные многоугольники с чётным числом сторон имеют полу-2n-угольные проективные многоугольники, {2p}/2.

Существует 4 правильных проективных многогранника, соответствующих 4 из 5 платоновых тел.

Полукуб и полуоктаэдр обобщаются в полу-n-кубы и полу-n-ортоплексы в любой размерности.

Правильные проективные многогранники в трёхмерном пространстве

3-dimensional regular hemi-polytopes

Название	Коксетер McMullen	Image	Faces	Edges	Vertices	χ
Полукуб	{4,3}/2 {4,3}3		3	6	4	1
Полуоктаэдр	{3,4}/2 {3,4}3		4	6	3	1
Полудодекаэдр	{5,3}/2 {5,3}5		6	15	10	1
Полуикосаэдр	{3,5}/2 {3,5}5		10	15	6	1

Бесконечногранник — это многогранник, имеющий бесконечное число фасет. n-бесконечногранник — это n-мерный бесконечногранник: 2-бесконечногранник = бесконечноугольник (апейрогон), 3-бесконечногранник = бесконечногранник в трёхмерном пространстве и т.д.

Существует два главных геометрических класса бесконечногранников:[12]

• Правильные соты в n-мерном пространстве, полностью заполняющие n-мерное пространство.
• Правильные косые бесконечногранники, содержащие n-мерные многообразия в более высоких пространствах.

Одномерное пространство (бесконечноугольники)

Прямой апейрогон — это правильное замощение прямой с разделением её на бесконечно много равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и рёбер. Его символ Шлефли равен {∞}, а диаграмма Коксетера — .

......

Апейрогоны на гиперболической плоскости, среди которых наиболее заметен правильный апейрогон {∞}, могут иметь кривизну, наподобие конечных многоугольников на евклидовой плоскости, и иметь вершины, лежащие на орициклах или гиперциклах.

Правильные апейрогоны со сходимостью на бесконечности имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в общем случае они могут существовать на гиперциклах.

{∞}	{πi/λ}
Бесконечноугольник на орицикле	Бесконечноугольник на гиперцикле

Выше показаны два гиперболических апейрогона на диске Пуанкаре. На правом рисунке показаны перпендикулярные прямые, разделяющие фундаментальные области, отстоящие на расстояние λ друг от друга.

Пространственные бесконечноугольники

Косые апейрогоны в двумерном пространстве (плоскости) образуют зигзаг. Если зигзаг симметричен и однороден, апейрогон правильный.

Косые апейрогоны можно построить в пространстве любой размерности. В трёхмерном пространстве косые апейрогоны образуют спираль и могут быть левыми или правыми.

Двумерное пространство	Трёхмерное пространство
Апейрогон в виде зигзага	Спиральный апейрогон

Евклидовы мозаики

Существует три правильных замощения плоскости. Все три имеют эйлерову характеристику (χ) 0.

Название	Квадратная мозаика (кадриль)	Треугольная мозаика (дельтаплитка)	Шестиугольный паркет (гексаплитка)
Симметрия	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Шлефли {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Диаграмма Коксетера
Рисунок

Существует две несобственные правильные мозаики — {∞,2}, бесконечноугольный диэдр, полученный из двух апейрогонов, каждый из которых заполняет полуплоскость, и двойственная ей {2,∞} мозаика, бесконечноугольный осоэдр, который можно представить как бесконечное число параллельных прямых.

{∞,2},

{2,∞},

Гиперболические мозаики

Замощения гиперболического двухмерного пространства — это гиперболические мозаики. Существует бесконечно много правильных мозаик в H². Как констатировано выше, любая положительная пара {p,q}, такая что 1/p + 1/q < 1/2 даёт гиперболическую мозаику. Фактически для общего треугольника Шварца (p, q, r) то же самое верно для 1/p + 1/q + 1/r < 1.

Существует много различных путей представления гиперболической плоскости, включая дисковую модель Пуанкаре, в которой плоскость отображается в диск, как показано ниже. Следует рассматривать все многоугольные грани замощения как равносторонние, и многоугольники становятся меньше при приближению к краю диска вследствие применения проекции, что похоже на эффект фотокамеры c объективом «Рыбий глаз».

Существует бесконечно много плоских правильных 3-бесконечногранников как правильных мозаик гиперболической плоскости, имеющих вид {p,q}, где p+q<pq/2.

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Примеры:

Сферические (Платоновы)/Евклидовы/гиперболические (диск Пуанкаре: компактные/паракомпактные/некомпактные) замощения с их символами Шлефли
p \ q	3	4	5	6	7	8	...	∞	...	iπ/λ
3	(тетраэдр) {3,3}	(октаэдр) {3,4}	(икосаэдр) {3,5}	(дельта-плитка) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
4	(куб) {4,3}	(кадриль) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	(додекаэдр) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	(гексаплитка) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
8	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}	{∞,∞}	{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{iπ/λ,3}	{iπ/λ,4}	{iπ/λ,5}	{iπ/λ,6}	{iπ/λ,7}	{iπ/λ,8}	{iπ/λ,∞}	{iπ/λ,iπ/λ}

Гиперболические звёздчатые мозаики

Существует два бесконечных вида гиперболических мозаик, грани или вершинные фигуры которых являются звёздчатыми многоугольниками — {m/2, m} и их двойственные {m, m/2} с m = 7, 9, 11, .... Мозаики {m/2, m} являются звёздчатыми формами мозаик {m, 3}, в то время как двойственные мозаики {m, m/2} являются огранкой мозаик {3, m} и увеличениями мозаик {m, 3}.

Схемы {m/2, m} и {m, m/2} продолжаются для нечётных m < 7 как многогранники: если m = 5, мы получим малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр, а при m = 3 мы получим тетраэдр. Другие два тела Кеплера — Пуансо (большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр) не имеют аналогов в правильных гиперболических мозаиках. Если m чётно, в зависимости от того, как мы выберем определение {m/2}, мы можем получить либо вырожденное покрытие другой мозаики или соединение мозаик.

Название	Шлефли	Диаграмма Коксетера	Рисунок	Тип грани {p}	Вершинная фигура {q}	Плот- ность	Симметрия	Двойственная
Семиугольная мозаика порядка 7	{7/2,7}			{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Семиугольная гептаграммная мозаика
Семиугольная гептаграммная мозаика	{7,7/2}			{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Гептаграммная мозаика порядка7
Эннеаграммная мозаика порядка 9	{9/2,9}			{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Эннеаграммная девятиугольная мозаика
Эннеаграммная девятиугольная мозаика	{9,9/2}			{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Эннеаграммная девятиугольная мозаика порядка 9
Гендекаграммная мозаика порядка 11	{11/2,11}			{11/2}	{11}	3	*11.3.2 [11,3]	Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика
Гендекаграммная мозаика одиннадцатиугольная мозаика	{11,11/2}			{11}	{11/2}	3	*11.3.2 [11,3]	Гендекаграммная мозаика порядка 11
p- граммная мозаика порядка p	{p/2,p}			{p/2}	{p}	3	*p32 [p,3]	p- граммная p- угольная мозаика
p-граммная мозаика p-угольная мозаика	{p,p/2}			{p}	{p/2}	3	*p32 [p,3]	p-граммная мозаика порядка p

Косые бесконечногранники в евклидовом 3-мерном пространстве

Существует три правильных косых бесконечногранников в евклидовом трёхмерном пространстве с правильным пространственным многоугольником в качестве вершинных фигур [13][14][15]. Они имеют то же самое расположение вершин и расположение рёбер, что и у 3 выпуклых однородных сот.

• 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
• 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
• 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}

12 "чистых" бесконечногранников в евклидовом 3-мерном пространстве на основе кубических сот, {4,3,4} [16]. Оператор Петри π заменяет грани многоугольниками Петри. δ является двойственным оператором, обменивающим местами вершины и грани. φ_k является k-м оператором огранки. η является оператором взятия половины, а σ — взятием косой половины.

Правильный косой многоугольник
{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

Существует тридцать правильных бесконечноугольников в евклидовом трёхмерном пространстве [17]. Они включают как перечисленные выше, так и 8 других "чистых" бесконечноугольников. Все они связаны с кубическими сотами {4,3,4}. Остальные имеют пространственные многоугольные грани: {6,6}₄, {4,6}₄, {6,4}₆, {∞,3}^a, {∞,3}^b, {∞,4}^.*3, {∞,4}_6,4, {∞,6}_4,4 и {∞,6}_6,3.

Замощения евклидова трёхмерного пространства

Рёберный каркас кубических сот {4,3,4}

Существует только одно невырожденное правильное замощение 3-мерного пространства (соты), {4, 3, 4} [19]:

Название	Шлефли {p,q,r}	Коксетер	Тип ячейки {p,q}	Тип грани {p}	Рёберная фигура {r}	Вершинная фигура {q,r}	χ	Двойственный
Кубические соты	{4,3,4}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	Самодвойственны

Несобственные замощения евклидова трёхмерного пространства

Правильные соты {2,4,4}, в виде проекции на сферу.

Существует шесть несобственных правильных замощений, попарно основанных на трёх правильных евклидовых замощениях. Их ячейки и вершинные фигуры являются правильными осоэдрами {2,n}, диэдрами {n,2} и евклидовыми мозаиками. Эти несобственные правильные мозаики конструкционно связаны с призматическими однородными сотами операцией усечения. Они являются высокоразмерными аналогами бесконечноугольной мозаики порядка 2 и бесконечноугольного осоэдра.

Шлефли {p,q,r}	Диаграмма Коксетера	Тип ячейки {p,q}	Тип грани {p}	Рёберная фигура {r}	Вершинная фигура {q,r}
{2,4,4}		{2,4}	{2}	{4}	{4,4}
{2,3,6}		{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}		{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}		{4,4}	{4}	{2}	{4,2}
{3,6,2}		{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}		{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Замощения гиперболического трёхмерного пространства

4 компактных правильных сот {5,3,4} {5,3,5} {4,3,5} {3,5,3}

4 из 11 паракомпактных правильных сот {3,4,4} {3,6,3} {4,4,3} {4,4,4}

Существует десять плоских правильных сот гиперболического 3-мерного пространства[20] (перечислены выше как замощения):

• 4 компактных: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
• 6 паракомпактных: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Замощения гиперболического 3-мерного пространства можно назвать гиперболическими сотами. Существует 15 гиперболических сот в H³, 4 компактных и 11 паракомпактных.

Название	Символ Шлефли {p,q,r}	Коксетер	Тип ячейки {p,q}	Тип грани {p}	Рёберная фигура {r}	Вершинная фигура {q,r}	χ	Двойственный
Икосаэдральные соты	{3,5,3}		{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	0	Самодвойственны
Кубические соты порядка 5	{4,3,5}		{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	0	{5,3,4}
Додекаэдральные соты порядка 4	{5,3,4}		{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	0	{4,3,5}
Додекаэдральные соты порядка 5	{5,3,5}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	Самодвойственны

Существует также 11 паракомпактных H³ сот (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Название	Символ Шлефли {p,q,r}	Коксетер	Тип ячейки {p,q}	Тпи грани {p}	Рёберная фигура {r}	Вершинная фигура {q,r}	χ	Двойственный
Тетраэдральные соты порядка 6	{3,3,6}		{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	0	{6,3,3}
Шестиугольные мозаичные соты	{6,3,3}		{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	0	{3,3,6}
Октаэдральные соты порядка 4	{3,4,4}		{3,4}	{3}	{4}	{4,4}	0	{4,4,3}
Квадратные мозаичные соты	{4,4,3}		{4,4}	{4}	{3}	{4,3}	0	{3,3,4}
Треугольные мозаичные соты	{3,6,3}		{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	0	Самодвойственны
Кубические соты порядка 6	{4,3,6}		{4,3}	{4}	{4}	{3,4}	0	{6,3,4}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 4	{6,3,4}		{6,3}	{6}	{4}	{3,4}	0	{4,3,6}
Квадратные мозаичные соты порядка 4	{4,4,4}		{4,4}	{4}	{4}	{4,4}	0	{4,4,4}
Додекаэдральные соты порядка 6	{5,3,6}		{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	0	{6,3,5}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 5	{6,3,5}		{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	0	{5,3,6}
Шестиугольные мозаичные соты порядка 6	{6,3,6}		{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	0	Самодвойственны

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдрон, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности), и некоторые нарисованы ниже, показывая их пересечение с плоскостью. Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.

Сферические/Евклидовы/гиперболические(компактные/паракомпактные/некомпактные) соты {p,3,r}

p \ r	3	4	5	6	7	8	... ∞
3	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	{3,3,∞}
4	{4,3,3}	{4,3,4}	{4,3,5}	{4,3,6}	{4,3,7}	{4,3,8}	{4,3,∞}
5	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	{5,3,∞}
6	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	{6,3,∞}
7	{7,3,3}	{7,3,4}	{7,3,5}	{7,3,6}	{7,3,7}	{7,3,8}	{7,3,∞}
8	{8,3,3}	{8,3,4}	{8,3,5}	{8,3,6}	{8,3,7}	{8,3,8}	{8,3,∞}
... ∞	{∞,3,3}	{∞,3,4}	{∞,3,5}	{∞,3,6}	{∞,3,7}	{∞,3,8}	{∞,3,∞}

q = 4	q = 5	q = 6
p \ r 3 4 5 3 {3,4,3} {3,4,4} {3,4,5} 4 {4,4,3} {4,4,4} {4,4,5} 5 {5,4,3} {5,4,4} {5,4,5}	p \ r 3 4 3 {3,5,3} {3,5,4} 4 {4,5,3} {4,5,4} 5 {5,5,3} {5,5,4}	p \ r 3 4 3 {3,6,3} {3,6,4} 4 {4,6,3} {4,6,4} 5 {5,6,3} {5,6,4}

Не существует гиперболических звёздчатых сот в H³ — все формы с правильным звёздчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры, или того и другого оказываются сферическими.