Усечённый куб

Усечённый куб
Усечённый куб
	; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
14 граней; 36 рёбер; 24 вершины	Χ = 2
Грани	8 треугольников; 6 восьмиугольников
Конфигурация вершины	3.82
Двойственный многогранник	триакисоктаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	tC
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
	Медиафайлы на Викискладе

Усечённый куб[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников.

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен $\arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 0{,}89\pi .$

Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны $\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },$ как в кубооктаэдре.

Усечённый куб можно получить из обычного куба, «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

Метрические характеристики

Если усечённый куб имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 32{,}4346644a^{2},

V={\frac {1}{3}}\left(21+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 13{,}5996633a^{3}.

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}7788236a;

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho ={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}7071068a.

Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром $a$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен

r_{8}={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}2071068a.

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит $r_{8}$ и равно

r_{3}={\sqrt {{\frac {17}{12}}+{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}6825220a.

В координатах

Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел $(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm ({\sqrt {2}}-1)).$

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Заполнение пространства

С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрации).

Примечания

Усечённый куб, совершающий полный оборот шагами по 15°

Уличная скульптура в Вюрцбурге

Веннинджер, 1974, с. 20, 32.
Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
Люстерник, 1956, с. 183.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Усечённый куб (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_df2c43b70bff23d5-1] Веннинджер, 1974, с. 20, 32.

[_4011b030f449b594-2] Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.

[_890f5fddf3101d54-3] Люстерник, 1956, с. 183.