Усечённый додекаэдр

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (0;\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm \Phi$ ;\;\pm 2\Phi ),}
• ${\displaystyle (\pm \Phi$ ;\;\pm 2;\;\pm (\Phi +1)),}

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100{,}9907602a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85{,}0396646a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}9694490a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9270510a.}$

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{2}}}\;a\approx 2{,}4898983a.}$

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{10}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9127812a.}$

• Weisstein, Eric W. Усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.