Параллелепипед

Паралелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, основанием которой служит параллелограмм, или, что равносильно, многогранник, у которого шесть граней, каждая из которых — параллелограмм.

Параллелепипед

Типы параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед

Различается несколько типов параллелепипедов:

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

Прямой параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

Объём V=S_о*h

Прямоугольный параллелепипед

Площадь боковой поверхности S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда

Площадь полной поверхности S_п=2(ab+bc+ac)

Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Площадь поверхности: $S=6a^{2}$
Объём: $V=a^{3}$ , где $a$ — ребро куба.

Произвольный параллелепипед

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2]^:215.

В математическом анализе

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом $B$ понимают множество точек $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ вида $B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}$

Сечение параллелепипеда плоскостью

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

Примечания

[http://lingvowiki.info/w/Книги/Древнегреческо-русский_словарь_Дворецкого/96 Архивная копия от 24 апреля 2019 на Wayback Machine Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλεπίπεδον»
Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

Ссылки

Прямоугольный параллелепипед Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] [http://lingvowiki.info/w/Книги/Древнегреческо-русский_словарь_Дворецкого/96 Архивная копия от 24 апреля 2019 на Wayback Machine Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλεπίπεδον»

[Vect-2] Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.