Звёздчатый октаэдр

Звёздчатый октаэдр, или stella octangula, — единственная звёздчатая форма октаэдра. Латинским именем stella octangula многогранник назвал Кеплер в 1609, хотя он был известен более ранним геометрам. Так, он изображён в труде Пачоли De Divina Proportione, 1509.

Звёздчатый октаэдр

Тип	Правильное соединение многогранников
Граней	8 треугольников
Рёбер	12
Вершин	8
Группы симметрии Группа Коксетера	Октаэдральная (O_h) [4,3] or [[3,3]]
Ядро	Октаэдр
Символ Шлефли	$3$
Символ Коксетера	{4,3}[2{3,3}]{3,4}[1]
Диаграмма Коксетера	∪ =
Выпуклая оболочка	Куб
Index	UC₄, W₁₉
Двойственный	Самодвойственен

Многогранник является простейшим из пяти правильных соединений многогранников.

Звёздчатый октаэдр можно рассматривать как трёхмерное обобщение гексаграммы — гексаграмма является двумерной фигурой, образованной двумя наложенными друг на друга правильными треугольниками, центрально симметричными друг другу, и точно таким же образом звёздчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных пересекающихся тетраэдров. Его же можно рассматривать как одну из стадий построения 3D-снежинки Коха, фрактальной фигуры, получаемой повторяющимся присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной поверхности большей фигуры. Начальной стадией построения снежинки Коха является один центральный тетраэдр, а второй стадией, полученной добавлением четырёх меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, и будет звёздчатый октаэдр.

Построение

Звёздчатый октаэдр можно получить несколькими путями:

Это образование звёздчатой формы правильного октаэдра, сохраняющее его плоскости граней. Грани звезды очень простые: (См. модель Веннинджера W₁₉).
Он является правильным соединением многогранников, если строить как объединение двух тетраэдров (тетраэдр и двойственный ему тетраэдр).
Его можно получить дополнением правильного октаэдра треугольными пирамидами к каждой грани. В этом построении многогранник имеет ту же топологию, что и выпуклое каталаново тело триакисоктаэдр, имеющее куда более короткие пирамиды.
Это огранка куба с сохранением вершин.

Связанные концепции

У представленного в виде сферической мозаики звёздчатого октаэдра рёбра в соединении двух тетраэдров образуют ромбододекаэдр

Можно построить соединение двух сферических тетраэдров, как показано на рисунке.

Два тетраэдра в соединении звёздчатого октаэдра являются «десмичными», что означает (если рассматривать их как прямые в проективном пространстве), что каждое ребро одного тетраэдра пересекает противоположное ребро другого тетраэдра. Одно из таких пересечений видно в звёздчатом октаэдре. Другое пересечение оказывается в бесконечной точке проективной плоскости между двумя параллельными рёбрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмичной системы трёх тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве чётырёх вершин три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же самые двенадцать вершин тетраэдров образуют точки конфигурации Рейе.

124 магнитных шара, расположенные в форме звёздчатого октаэдра

Числа звёздчатого октаэдра — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS)

В популярной культуре

Звёздчатый октаэдр представлен наряду с некоторыми другими многогранниками и соединениями многогранников на картинах Эшера «Звёзды» [2] и «Двойной астероид» (1949)[3].

Галерея

Это полная симметрическая огранка куба

Примечания

Coxeter, 1973, с. 48-50, 98.
Hart, 1996.
Coxeter, 1985, с. 59–69.

Литература

P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — ISBN 0-521-55432-2.

H.S.M Coxeter. 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104 // Regular Polytopes. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
George W. Hart. The Polyhedra of M.C. Escher // WEB-статья. — 1996.
H. S. M. Coxeter. A special book review: M. C. Escher: His life and complete graphic work // The Mathematical Intelligencer. — 1985. — Т. 7, вып. 1. — doi:10.1007/BF03023010.

Внешние ссылки

VRML модель:
MathWorld, Stella Octangula
KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D compound

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_bd977f433faf8214-1] Coxeter, 1973, с. 48-50, 98.

[_895f310cd141bda7-2] Hart, 1996.

[_98df2ef4572eb14c-3] Coxeter, 1985, с. 59–69.