Список моделей многогранников Веннинджера

Статья содержит список однородных и звёздчатых многогранников из книги Модели многогранников Магнуса Веннинджера.

Книга написана как руководство по построению физических моделей многогранников. Книга включает чертежи элементов граней для построения, рекомендации, полезные для построения, а также короткое описание теории, связанной с этими фигурами. Книга содержит 75 непризматических однородных многогранников и 44 звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников.

Этот список создан как дань уважения ранней работе Веннинджера и чтобы дать детальные ссылки на 119 пронумерованных моделей книги.

На модели, перечисленные здесь, можно ссылаться как на «Модель Веннинджера Номер N» или, для краткости, WN.

Многогранники собраны в пять таблиц: правильные (1–5), полуправильные (6–18), правильные звёздчатые многогранники (20–22, 41), звёздчатые формы и соединения (19–66) и однородные звёздчатые многогранники (67–119). Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку они принадлежат как однородным многогранникам, так и звёздчатым формам.

Правильные многогранники (плато́новы тела) W1 to W5
Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа		 Вершинная фигура
и символ Шлефли		 Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
1 Тетраэдр Тетраэдр 3|2 3
{3,3}		 Td U01 K06 4 6 4 4{3}
2 Октаэдр Гексаэдр 4|2 3
{3,4}		 Oh U05 K10 6 12 8 8{3}
3 Гексаэдр (Куб) Октаэдр 3|2 4
{4,3}		 Oh U06 K11 8 12 6 6{4}
4 Икосаэдр Додекаэдр 5|2 3
{3,5}		 Ih U22 K27 12 30 20 20{3}
5 Додекаэдр Икосаэдр 3|2 5
{5,3}		 Ih U23 K28 20 30 12 12{5}

Архимедовы тела (Полуправильные) W6 to W18
Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа		 Вершинная фигура
и символ Шлефли		 Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
6 Усечённый тетраэдр триакистетраэдр 2 3|3
3.6.6		 Td U02 K07 12 18 8 4{3} + 4{6}
7 Усечённый октаэдр тетракисгексаэдр 2 4|3
4.6.6		 Oh U08 K13 24 36 14 6{4} + 8{6}
8 Усечённый гексаэдр триакисоктаэдр 2 3|4
3.8.8		 Oh U09 K14 24 36 14 8{3} + 6{8}
9 Усечённый икосаэдр пентакисдодекаэдр 2 5|3
5.6.6		 Ih U25 K30 60 90 32 12{5} + 20{6}
10 Усечённый додекаэдр триакисикосаэдр 2 3|5
3.10.10		 Ih U26 K31 60 90 32 20{3} + 12{10}
11 Кубооктаэдр ромбододекаэдр 2|3 4
3.4.3.4		 Oh U07 K12 12 24 14 8{3} + 6{4}
12 Икосододекаэдр ромботриаконтаэдр 2|3 5
3.5.3.5		 Ih U24 K29 30 60 32 20{3} + 12{5}
13 Ромбокубооктаэдр дельтоидальный икоситетраэдр 3 4|2
3.4.4.4		 Oh U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
14 Ромбоикосидодекаэдр дельтоидальный гексеконтаэдр 3 5|2
3.4.5.4		 Ih U27 K32 60 120 62 20{3} + 30{4} + 12{5}
15 Усечённый кубооктаэдр
(Большой ромбокубооктаэдр)		 Гекзакисоктаэдр 2 3 4|
4.6.8		 Oh U11 K16 48 72 26 12{4} + 8{6} + 6{8}
16 Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Большой ромбоикосододекаэдр)		 Гекзакисикосаэдр 2 3 5|
4.6.10		 Ih U28 K33 120 180 62 30{4} + 20{6} + 12{10}
17 Плосконосый куб пятиугольный икосотетраэдр |2 3 4
3.3.3.3.4		 O U12 K17 24 60 38 (8 + 24){3} + 6{4}
18 Плосконосый додекаэдр пятиугольный гексаконтаэдр |2 3 5
3.3.3.3.5		 I U29 K34 60 150 92 (20 + 60){3} + 12{5}

Тела Кеплера — Пуансо (Правильные звёздчатые многогранники) W20, W21, W22 и W41
Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Символ
Витхоффа		 Вершинная фигура
и символ Шлефли		 Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
20 Малый звёздчатый додекаэдр Большой додекаэдр 5|25/2
{5/2,5}		 Ih U34 K39 12 30 12 12{5/2}
21 Большой додекаэдр Малый звёздчатый додекаэдр 5/2|2 5
{5,5/2}		 Ih U35 K40 12 30 12 12{5}
22 Большой звёздчатый додекаэдр Большой икосаэдр 3|25/2
{5/2,3}		 Ih U52 K57 20 30 12 12{5/2}
41 Большой икосаэдр
(16-ая звёздчатая форма икосаэдра)		 Большой звёздчатый додекаэдр 5/2|2 3
{3,5/2}		 Ih U53 K58 12 30 20 20{3}

Звёздчатые многогранники: модели от W19 до W66

Звёздчатый октаэдр
Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
2 Октаэдр
(правильный)		 Oh
19 Звёздчатый октаэдр
(Соединение двух тетраэдров)		 Oh

Звёздчатые формы додекаэдра
Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
5 Додекаэдр (правильный) Ih
20 Малый звёздчатый додекаэдр(правильный)
(Первая звёздчатая форма додекаэдра)		 Ih
21 Большой додекаэдр (правильный)
(Вторая звёздчатая форма додекаэдра)		 Ih
22 Большой звёздчатый додекаэдр(правильный)
(Третья звёздчатая форма додекаэдра)		 Ih

Звёздчатые формы икосаэдра
Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
4 Икосаэдр (правильный) Ih
23 Соединение пяти октаэдров
(Первая составная форма звёздчатого икосаэдра)		 Ih
24 Соединение пяти тетраэдров
(Вторая составная форма звёздчатого икосаэдра)		 I
25 Соединение десяти тетраэдров
(Третья составная форма звёздчатого икосаэдра)		 Ih
26 Малый триамбический икосаэдр
(Первая звёздчатая форма икосаэдра)
(Триакисикосаэдр)		 Ih
27 Вторая звёздчатая форма икосаэдра Ih
28 Выемчатый додекаэдр
(Третья звёздчатая форма икосаэдра)		 Ih
29 Четвёртая звёздчатая форма икосаэдра Ih
30 Пятая звёздчатая форма икосаэдра Ih
31 Шестая звёздчатая форма икосаэдра Ih
32 Седьмая звёздчатая форма икосаэдра Ih
33 Восьмая звёздчатая форма икосаэдра Ih
34 Девятая звёздчатая форма икосаэдра
Большой триамбикикосаэдр
 Ih
35 Десятая звёздчатая форма икосаэдра I
36 Одиннадцатая звёздчатая форма икосаэдра I
37 Двенадцатая звёздчатая форма икосаэдра Ih
38 Тринадцатая звёздчатая форма икосаэдра I
39 Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра I
40 Пятнадцатая звёздчатая форма икосаэдра I
41 Большой икосаэдр (правильный)
(Шестнадцатая звёздчатая форма икосаэдра)		 Ih
42 Ехиднаэдр
(Завершающая, семнадцатая звёздчатая форма икосаэдра)		 Ih

Звёздчатые формы кубооктаэдра
Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (октаэдральные плоскости) Грани (кубические плоскости)
11 Кубооктаэдр (правильный) Oh
43 Соединение куба и октаэдра
(Первая звёздчатая форма кубооктаэдра)		 Oh
44 Вторая звёздчатая форма кубооктаэдра Oh
45 Третья звёздчатая форма кубооктаэдра Oh
46 Четвёртая звёздчатая форма кубооктаэдра Oh

Звёздчатые формы икосододекаэдра
Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (икосоэдральные плоскости) Грани (додекаэдральные плоскости)
12 Икосододекаэдр
(правильный)		 Ih
47 (Первая звёздчатая форма икосододекаэдра)
Соединение додекаэдра и икосаэдра		 Ih
48 Вторая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
49 Третья звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
50 Четвёртая звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и триакисикосаэдра)		 Ih
51 Пятая звёздчатая форма икосододекаэдра
( Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и пяти октаэдров)		 Ih
52 Шестая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
53 Седьмая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
54 Восьмая звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение пяти тетраэдров
и большого додекаэдра)		 I
55 Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
56 Десятая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
57 Одиннадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
58 Двенадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
59 Тринадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
60 Четырнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
61 Соединение большого звёздчатого додекаэдра и большого икосаэдра Ih
62 Пятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
63 Шестнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
64 Семнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
65 Восемнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih
66 Девятнадцатая звёздчатая форма икосододекаэдра Ih

Однородные невыпуклые тела W67 - W119
Номер Название Рисунок Название
двойственного		 Рисунок двойственного Символ
Витхоффа		 Вершинная фигура Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
67ТетрагемигексаэдрТетрагемигексакрон3/23|2
4.3/2.4.3		TdU04K0961274{3}+3{4}
68ОктагемиоктаэдрОктагемиоктакрон3/23|3
6.3/2.6.3		OhU03K081224128{3}+4{6}
69Малый кубокубооктаэдрМалый гексакронный икосотетраэдр3/24|4
8.3/2.8.4		OhU13K182448208{3}+6{4}+6{8}
70Малый битригональный икосододекаэдрМалый триамбический икосаэдр3|5/23
(5/2.3)3		IhU30K3520603220{3}+12{5/2}
71Малый икосоикосододекаэдрМалый икосакронный гексаконтаэдр5/23|3
6.5/2.6.3		IhU31K36601205220{3}+12{5/2}+20{6}
72Малый додекоикосододекаэдрМалый додекакронный гексаконтаэдр3/25|5
10.3/2.10.5		IhU33K38601204420{3}+12{5}+12{10}
73ДодекододекаэдрСредний ромбический триаконтаэдр2|5/25
(5/2.5)2		IhU36K4130602412{5}+12{5/2}
74Малый ромбододекаэдрМалый
ромбододекакрон		25/25|
10.4.10/9.4/3		IhU39K44601204230{4}+12{10}
75Усечённый большой додекаэдрМалый звёздчатый пентакисдодекаэдр25/2|5
10.10.5/2		IhU37K4260902412{5/2}+12{10}
76РомбододекододекаэдрСредний дельтоидный гексаконтаэдр5/25|2
4.5/2.4.5		IhU38K43601205430{4}+12{5}+12{5/2}
77Большой кубокубооктаэдрБольшой гексакронный икосотетраэдр3 4|4/3
8/3.3.8/3.4		OhU14K192448208{3}+6{4}+6{8/3}
78КубогемиоктаэдрГексагемиоктакрон4/34|3
6.4/3.6.4		OhU15K201224106{4}+4{6}
79Кубоусечённый кубооктаэдр
(Кубооктаусечённый кубооктаэдр)		Тетрадиакисгексаэдр4/33 4|
8/3.6.8		OhU16K214872208{6}+6{8}+6{8/3}
80Битригональный додекаэдрСредний триамбикикосаэдр3|5/35
(5/3.5)3		IhU41K4620602412{5}+12{5/2
81Большой битригональный додекоикосододекаэдрБольшой битриагональный додекакронный гексаконтаэдр3 5|5/3
10/3.3.10/3.5		IhU42K47601204420{3}+12{5}+12{10/3}
82Малый битригональный додекоикосододекаэдрМалый битриагональный додекакронный гексаконтаэдр5/33|5
10.5/3.10.3		IhU43K48601204420{3}+12{5/2}+12{10}
83ИикосододекододекаэдрСредний икосакронный
гексаконтаэдр		5/35|3
6.5/3.6.5		IhU44K49601204412{5}+12{5/2}+20{6}
84Икосоусечённый додекододекаэдр
(Икосододекоусечённый икосододекаэдр)		Тридиакисикосаэдр5/33 5|
10/3.6.10		IhU45K501201804420{6}+12{10}+12{10/3}
85Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр
(Квазиромбокубооктаэдр)		Большой дельтоидный икосотетраэдр3/24|2
4.3/2.4.4		OhU17K222448268{3}+(6+12){4}
86Малый ромбогексаэдрМалый ромбогексакрон3/22 4|
4.8.4/3.8		OhU18K2324481812{4}+6{8}
87Большой битригональный икосододекаэдрБольшой триамбикикосаэдр3/2|3 5
(5.3.5.3.5.3)/2		IhU47K5220603220{3}+12{5}
88Большой икосоикосододекаэдрБольшой икосакронный гексаконтаэдр3/25|3
6.3/2.6.5		IhU48K53601205220{3}+12{5}+20{6}
89Малый икосогемидодекаэдрМалый икосогемидодекакрон3/23|5
10.3/2.10.3		IhU49K5430602620{3}+6{10}
90Малый додекоикосаэдрМалый додекоикосакрон3/23 5|
10.6.10/9.6/5		IhU50K55601203220{6}+12{10}
91Малый додекогемидодекаэдрМалый додекогемидодекакрон5/45|5
10.5/4.10.5		IhU51K5630601812{5}+6{10}
92Звёздчатый усечённый гексаэдр
(Квазиусечённый гексаэдр)		Большой триакисоктаэдр2 3|4/3
8/3.8/3.3		OhU19K242436148{3}+6{8/3}
93Большой усечённый кубооктаэдр
(Квазиусечённый кубооктаэдр)		Большой дисдиакисдодекаэдр4/32 3|
8/3.4.6		OhU20K2548722612{4}+8{6}+6{8/3}
94Большой икосододекаэдрБольшой ромбический тридцатигранник2|5/23
(5/2.3)2		IhU54K5930603220{3}+12{5/2}
95Усечённый большой икосаэдрБольшой звёздчатый пентакисдодекаэдр25/2|3
6.6.5/2		IhU55K6060903212{5/2}+20{6}
96РомбоикосаэдрРомбоикоакрон25/23|
6.4.6/5.4/3		IhU56K61601205030{4}+20{6}
97Малый звёздчатый усечённый додекаэдр
(Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр)		Большой пентакисдодекаэдр2 5|5/3
10/3.10/3.5		IhU58K6360902412{5}+12{10/3}
98Усечённый додекадодекаэдр
(Квазиусечённый додекаэдр)		Средний дисдиакистриаконтаэдр5/32 5|
10/3.4.10		IhU59K641201805430{4}+12{10}+12{10/3}
99Большой додекоикосододекаэдрБольшой додекакроникгексаконтаэдр5/23|5/3
10/3.5/2.10/3.3		IhU61K66601204420{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100Малый додекогемиикосаэдрМалый додекогемиикосакрон5/35/2|3
6.5/3.6.5/2		IhU62K6730602212{5/2}+10{6}
101Большой додекоикосаэдрБольшой додекоикосакрон5/35/23|
6.10/3.6/5.10/7		IhU63K68601203220{6}+12{10/3}
102Большой додекогемиикосаэдрБольшой додекогемиикосакрон5/45|3
6.5/4.6.5		IhU65K7030602212{5}+10{6}
103Большой ромбогексаэдрБольшой ромбогексакрон4/33/22|
4.8/3.4/3.8/5		OhU21K2624481812{4}+6{8/3}
104Большой звёздчатый усечённый додекаэдр
(Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр)		Большой триакисикосаэдр2 3|5/3
10/3.10/3.3		IhU66K7160903220{3}+12{10/3}
105Невыпуклый большой ромбоикосододекаэдр
(Квазиромбоикосододекаэдр)		Большой дельтоидальный гексаконтаэдр5/33|2
4.5/3.4.3		IhU67K72601206220{3}+30{4}+12{5/2}
106Большой икосогемидодекаэдрБольшой икосогемидодекакрон3 3|5/3
10/3.3/2.10/3.3		IhU71K7630602620{3}+6{10/3}
107Большой додекогемидодекаэдрБольшой додекогемидодекакрон5/35/2|5/3
10/3.5/3.10/3.5/2		IhU70K7530601812{5/2}+6{10/3}
108Большой усечённый икосододекаэдр
(Большой квазиусечённый икосододекаэдр)		Большой дисдиакистриаконтаэдр5/32 3|
10/3.4.6		IhU68K731201806230{4}+20{6}+12{10/3}
109Большой ромбододекаэдрБольшой ромбододекакрон3/25/32|
4.10/3.4/3.10/7		IhU73K78601204230{4}+12{10/3}
110Малый плосконосый икосоикосододекаэдрМалый шестиугольный гексаконтаэдр|5/23 3
3.3.3.3.3.5/2		IhU32K3760180112(40+60){3}+12{5/2}
111Плосконосый додекододекаэдрСредний пятиугольный гексаконтаэдр|25/25
3.3.5/2.3.5		IU40K45601508460{3}+12{5}+12{5/2}
112Плосконосый икосододекододекаэдрСредний шестиугольный гексаконтаэдр|5/33 5
3.3.3.3.5.5/3		IU46K5160180104(20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдрБольшой вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр|5/32 3
3.3.3.3.5/3		IU69K746015092(20+60){3}+12{5/2}
114Вывернутый плосконосый додекододекаэдрМалый вывернутый пятиугольный гексаконтаэдр|5/32 5
3.5/3.3.3.5		IU60K65601508460{3}+12{5}+12{5/2}
115Большой плосконосый додекоикосододекаэдрБольшой шестиугольный гексаконтаэдр|5/35/23
3.5/3.3.5/2.3.3		IU64K6960180104(20+60){3}+(12+12){5/2}
116Большой плосконосый икосододекаэдрБольшой пятиугольный гексаконтаэдр|25/25/2
3.3.3.3.5/2		IU57K626015092(20+60){3}+12{5/2}
117Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдрБольшой пентаграммный гексаконтаэдр|3/25/32
(3.3.3.3.5/2)/2		IU74K796015092(20+60){3}+12{5/2}
118Малый вывернутый обратноплосконосый икосоикосододекаэдрМалый гексаграммный гексаконтаэдр|3/23/25/2
(3.3.3.3.3.5/2)/2		IhU72K7718060112(40+60){3}+12{5/2}
119Большой биромбоикосододекаэдрБольшой биромбоикосододекрон|3/25/335/2
(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2		IhU75K806024012440{3}+60{4}+24{5/2}

См. также

Литература
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974. Ошибки: В книге Веннинджера вершинная фигура для многогранника W90 ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра. Для многогранника W106 даны неверные чертежи заготовок, вследствие чего в получаемой модели отсутствуют некоторые видимые части однородного многогранника.
  • Magnus Wenninger. Spherical Models. — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.