Усечённый октаэдр

Усечённый октаэдр с длиной ребра ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;\;\pm 1;\;\pm 2).}$

Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Если усечённый октаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=6\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 26{,}7846097a^{2},}$

${\displaystyle V=8{\sqrt {2}}\;a^{3}\approx 11{,}3137085a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{2}}\;a\approx 1{,}5811388a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {3}{2}}\;a=1{,}5000000a.}$

Вписать в усечённый октаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого октаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех шестиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{6}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\;a\approx 1{,}2247449a.}$

Расстояние от центра многогранника до центра любой квадратной грани превосходит ${\displaystyle r_{6}}$ и равно

${\displaystyle r_{4}={\sqrt {2}}\;a\approx 1{,}4142136a.}$

С помощью усечённых октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Кроме того, пространство можно замостить усечёнными октаэдрами вместе с усечёнными кубооктаэдрами и кубами; вместе с усечёнными тетраэдрами и кубооктаэдрами.

• 
  Усечённые кубооктаэдры, усечённые октаэдры и кубы
• 
  Усечённые октаэдры, усечённые тетраэдры и кубооктаэдры.

Формы, близкие к усечённому октаэдру, встречаются у кристаллов флюорита (плавикового шпата), пирита, в атомных структурах содалита, фожазита.

• 
  Флюорит
• 
  Пирит
• 
  Атомная структура содалита

Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

В виде усечённого октаэдра был выполнен Adidas Teamgeist, официальный мяч чемпионата мира по футболу 2006 года. Это первый подобный мяч чемпионата мира, состоящий из 14 панелей; ранее мячи изготавливались из 32 панелей и напоминали усечённый икосаэдр.

• 
  Старинная китайская игральная кость периода Сражающихся царств
• 
  Вариант кубика Рубика
• 
  Уличная скульптура в Бонне
• 
  Верёвочный городок в Загребе
• 
  Верёвочный городок в Салоу

• Weisstein, Eric W. Усечённый октаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382-447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.