Пятиугольная пирамида

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равносторонние треугольники, пирамида является одним из многогранников Джонсона (J₂, по Залгаллеру — М₃)[1].

Если рёбра такой пирамиды имеют длину ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 3{,}8855409a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 0{,}3015028a^{3}.}$

Высота пирамиды при этом будет равна

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\;a\approx 0{,}5257311a,}$

радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) —

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a,}$

радиус вписанной сферы (касающейся всех граней) —

${\displaystyle r={\frac {1}{40}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\left(5{\sqrt {3}}-{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a\approx 0{,}2327883a.}$

• Weisstein, Eric W. Пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.