Удлинённая четырёхугольная бипирамида

Если удлинённая четырёхугольная бипирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(4+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7{,}4641016a^{2},}$

${\displaystyle V=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)a^{3}\approx 1{,}4714045a^{3}.}$

Удлинённую четырёхугольную бипирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right)\right).}$

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три из пяти осей симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три из пяти плоскостей симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений при помощи многогранников Джонсона J₁₅ нельзя. Если, однако, немного деформировать удлинённую четырёхугольную бипирамиду, превратив равносторонние треугольники в равнобедренные с отношением сторон ${\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}},}$ получим многогранник, изоморфный J₁₅, для которого заполнение пространства становится возможным:

На иллюстрации копии многогранника окрашены в три разных цвета в соответствии с их различной ориентацией в пространстве.

В форме удлинённой четырёхугольной бипирамиды и близких к ней многогранников встречаются кристаллы циркона:

• 
• 
• 
  Под электронным микроскопом

На гравюре Маурица Эшера «Звёзды» (1948) присутствует (у середины верхнего края) многогранник, изоморфный J₁₅ — несколько «сжатый» так, что вместо квадратных граней у него прямоугольники.

• Weisstein, Eric W. Удлинённая четырёхугольная бипирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.