Триакисикосаэдр

Триакисикосаэдр
Триакисикосаэдр
	; (вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
60 граней; 90 рёбер; 32 вершины	Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники: ;
Конфигурация вершины	20(33) ; 12(310)
Конфигурация грани	V3.10.10
Двойственный многогранник	усечённый додекаэдр
	Развёртка
Классификация
Обозначения	kI
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
	Медиафайлы на Викискладе

Триакисикоса́эдр (от др.-греч. τριάχις — «трижды», εἴκοσι — «двадцать» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых тупоугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos \left(-{\frac {3+3{\sqrt {5}}}{20}}\right)\approx 119{,}04^{\circ },$ а два других $\arccos \,{\frac {15+{\sqrt {5}}}{20}}\approx 30{,}48^{\circ }.$

Имеет 32 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся своими острыми углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся тупыми углами по 3 грани.

У триакисикосаэдра 90 рёбер — 30 «длинных» (расположенных так же, как рёбра икосаэдра) и 60 «коротких» (вместе образующих фигуру, изоморфную — но не идентичную — остову ромботриаконтаэдра). Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}\right)\approx 160{,}61^{\circ }.$

Триакисикосаэдр можно получить из икосаэдра, приложив к каждой его грани правильную треугольную пирамиду с основанием, равным грани икосаэдра, и высотой, которая в ${\frac {5{\sqrt {15}}+9{\sqrt {3}}}{2}}\approx 17{,}48$ раз меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 3 грани вместо каждой из 20 граней исходного — с чем и связано его название.

Триакисикосаэдр — одно из шести каталановых тел, в которых нет гамильтонова цикла[1]; гамильтонова пути для всех шести также нет.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра триакисикосаэдра имеют длину $a$ , то его «длинные» рёбра имеют длину ${\frac {1}{10}}\left(15+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}72a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

Полувписанная сфера триакисикосаэдра

S=3{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(173-9{\sqrt {5}}\right)}}\;a^{2}\approx 26{,}2285960a^{2},

V={\frac {1}{4}}\left(19+13{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 12{,}0172209a^{3}.

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{122}}\left(477+199{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 1{,}3745174a,

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

\rho ={\frac {1}{10}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}3944272a.

Описать около триакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Примечания

Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Триакисикосаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.