Диэдр
Диэдр — вид многогранника, состоящего из двух многоугольных граней, имеющих общий набор рёбер. В трёхмерном евклидовом пространстве он является вырожденным, если его грани плоские, в то время как в трёхмерном сферическом пространстве диэдр с плоскими гранями может рассматриваться как линза, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L(p,q) [1].
| Множество правильных n-угольных диэдров | ||
|---|---|---|
 Пример шестиугольного диэдра на сфере | ||
| Тип | правильный многогранник, сферическая мозаика | |
| Комбинаторика | ||
| Элементы |
|
|
| Грани | 2 n-угольника | |
| Конфигурация вершины | n.n | |
| Двойственный многогранник | осоэдр | |
| Классификация | ||
| Символ Шлефли | {n,2} | |
| Символ Витхоффа | 2 | n 2 | |
| Диаграмма Дынкина |
    |
|
| Группа симметрии |
Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n Dn, [2,n]+, (22n), порядок 2n |
|
Обычно правильный диэдр подразумевается состоящим из двух правильных многоугольников, и это даёт ему символ Шлефли {n,2}. Каждый многоугольник заполняет полусферу с правильным n-угольником на большом круге (экваторе) между ними [2].
Двойственным многогранником n-угольного диэдра является n-угольный осоэдр, в котором n двуугольных граней имеют две общие вершины.
Как многогранник
Диэдр можно считать вырожденной призмой, состоящей из двух (плоских) n-сторонних многоугольников, соединённых внутренними сторонами, так что результирующий объект имеет нулевую высоту.
Как мозаика на сфере
Как сферическая мозаика диэдр может существовать в невырожденном виде с n-сторонними гранями, покрывающими сферу. Каждая грань этого диэдра является полусферой с вершинами на большом круге. (Грань правильная, если вершины находятся на равном расстоянии друг от друга.)
Правильный многогранник {2,2} самодвойственен и является одновременно осоэдром и диэдром.
| Рисунок |  |
 |
 |
 |
|
| Шлефли | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2}… |
|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер | |
 |
 |
 |
 |
| Грани | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Рёбра и вершины |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Бесконечноугольный диэдр
В пределе диэдр становится бесконечноугольным диэдром в виде 2-мерной мозаики:
Дитоп
Правильный дитоп — это n-мерный аналог диэдра с символом Шлефли {p, … q, r,2}. Дитоп имеет две (n-1)-мерной грани {p, … q, r}, которые имеют общую (n-12)-мерную грань.
См. также
Примечания
- Gausmann и др., 2001, с. 5155–5186.
- Coxeter, 1973, с. 12.
Литература
- Evelise Gausmann, Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces // Classical and Quantum Gravity. — 2001. — Т. 18. — doi:10.1088/0264-9381/18/23/311. — arXiv:gr-qc/0106033.
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
- H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
- Weisstein, Eric W. Dihedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.