Многоугольник

Сумма внутренних углов простого плоского ${\displaystyle n}$-угольника равна[4] ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${\displaystyle 360^{\circ }.}$

• Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$-угольника равно ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$.

Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$ — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$, где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [5].

Площадь правильного ${\displaystyle n}$-угольника вычисляется по одной из формул[6]:

• половина произведения периметра ${\displaystyle n}$-угольника на апофему:

• ${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$.

• ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};}$

• ${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

где ${\displaystyle a}$ — длина стороны многоугольника, ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$ называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$, таких, что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$ и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$, где ${\displaystyle S(P)}$ обозначает площадь ${\displaystyle P}$.