Треугольный паркет

Существует 9 различных однородных раскрасок треугольной мозаики (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя 1 и 3, в то время как 111213 получается из 121314[3].

Существует один класс архимедовой раскраски, 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3*3)			p3 (333)

Решётка A*
2 как три треугольные мозаики: + +

Расположение вершин треугольной мозаики называется решёткой A₂[4]. Она является 2-мерным вариантом симлектических сот.

Решётка A*
2 (которая также называется A3
2) может быть построена как объединение трёх решёток A₂ и эквивалентна решётке A₂.

+ + = dual of =

Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной упаковки кругов [5]. Любой круг соприкасается с 6 другими кругами (контактное число). Плотность упаковки равна ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sqrt {12}}}}$, это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A₂ снова будет решёткой A₂, круги можно раскрасить в три цвета.

Ячейкой диаграммы Вороного треугольной мозаики является шестиугольник, так что мозаика Вороного, шестиугольная мозаика, имеет прямое отношение к упаковке кругов.

Решётка A2 упаковки кругов	Решётка A* 2 упаковки кругов

Треугольные мозаики могут быть идентичны {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника в каждой вершине). Существует 5 вершинно транзитивных вариантов с одинаковыми гранями (транзитивных по граням). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке[6].

• 
  Разносторонний треугольник
  симметрия p2
• 
  Разносторонний треугольник
  симметрия pmg
• 
  Равнобедренный треугольник
  симметрия cmm
• 
  Прямоугольный треугольник
  симметрия cmm
• 
  Правильный треугольник
  симметрия p6m

Плоские мозаики связаны с многогранниками. Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в пирамиду. Отсюда можно получить правильные многогранники: пять, четыре и три треугольника в вершине дают икосаэдр, октаэдр и тетраэдр соответственно.

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с символами Шлефли {3,n}.

*n32 симметрии правильных мозаик: 3ⁿ or {3,n}

Сферическая				Евклидова	Компактная гипербол.		Пара- компактная	Некомпактная гиперболическая
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с полуправильными многогранниками с конфигурацией граней Vn.6.6.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Фундаментальные домены	Симметрия: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Конфиг.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Треугольные мозаики
Витхофф	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Коксетер
Рисунок Вершинная фигура	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Существует 4 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r- угольниками [7].

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.

2{6}6 или	3{4}6 или	3{6}3 или	6{3}6 или

Другие треугольные мозаики

Существуют также три мозаики Лавеса, состоящие из треугольников одного типа:

Разделённая ромбическая 30°-60°-90° прямоугольные треугольники

Разделённая квадратная 45°-45°-90° прямоугольные треугольники

триразделённая треугольная мозаика 30°-30°-120° равнобедренные треугольники

• Замощение
• Полиамонд
• Шестиугольная решётка
• Треугольные мозаичные соты
• Симлектические соты
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик
• Isogrid (структурное проектирование, использующее треугольную мозаику)

• Weisstein, Eric W. Triangular Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2
• Amit Patel. Grid Math: Square, Hexagon, Triangle (неопр.). — Алгоритмы представления шестиугольной и треугольной сеток в компьютерных стратегических играх.