Однородный многогранник
Однородный многогранник — многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками, и он вершинно транзитивен (транзитивен относительно вершин, а также изогонален, то есть имеется движение, переводящее вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны, и многогранник имеет высокую степень зеркальной и вращательной симметрии.
Однородные многогранники можно разделить на выпуклые формы с гранями в виде выпуклых правильных многоугольников и звёздчатые формы. Звёздчатые формы имеют грани в виде правильных звёздчатых многоугольников, вершинных фигур или обоих видов вместе.
Список включает:
- все 75 непризматических однородных многогранников;
- некоторых представителей бесконечного множества призм и антипризм;
- один специальный случай, многогранник Скиллинга с пересекающимися рёбрами.
В 1970-м году советским ученым Соповым доказано[1], что существует только 75 однородных многогранников, не входящих в бесконечные серии призм и антипризм. Джон Скиллинг (John Skilling) открыл ещё один многогранник, ослабив условие, что ребро может принадлежать только двум граням. Некоторые авторы не считают этот многогранник однородным, поскольку некоторые пары рёбер совпадают.
Не включены:
- 40 потенциальных однородных многогранников с вырожденными вершинными фигурами, имеющих пересекающиеся рёбра (не перечислены Коксетером);
- Однородные мозаики (бесконечные многогранники)
- 11 евклидовых однородных мозаик с выпуклыми гранями
- 14 евклидовых однородных мозаик с невыпуклыми гранями
- Бесконечное число однородных мозаик на гиперболической плоскости.
Нумерация
Используются четыре схемы нумерации однородных многогранников, различающихся буквами:
- [C] Коксетер с соавторами (1954)[2]. Список содержит выпуклые виды с номерами от 15 до 32, три призматических вида (номера 33—35) и невыпуклые виды (номера 36—92).
- [W] Веннинджер (1974)[3]. Список содержит 119 фигур: номера 1—5 для платоновых тел, 6—18 для архимедовых тел, 19—66 для звёздчатых видов, включая 4 правильных невыпуклых многогранника и 67—119 для невыпуклых однородных многогранников.
- [K] Kaleido (программа[4], 1993). Список содержит 80 фигур, номера сгруппированы по симметрии: 1—5 представляют бесконечные серии призматических форм с диэдральной симметрией, 6—9 с тетраэдральной симметрией, 10—26 с октаэдральной симметрией, 46—80 с икосаэдральной симметрией.
- [U] Mathematica (программа, 1993)[5]. В программе, в общем, используется та же нумерации, что и в программе Kaleido, только первые 5 призматических вида перенесены в конец списка, так что непризматические виды получили номера 1—75.
Список многогранников
Выпуклые формы перечислены в порядке степени вершинных конфигураций от 3 граней/вершин и далее, и по увеличению сторон у грани. Это упорядочение позволяет показать топологическую схожесть.
Выпуклые однородные многогранники
| Название | Рисунок | Тип вершинной конфигурации | Символ Витхоффа | Симм. | C# | W# | U# | K# | Вер- шин | Рё- бер | Гра- ней | Плот- ность | Граней по типам | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр |  |  3.3.3 | 3 | 2 3 | Td | C15 | W001 | U01 | K06 | 4 | 6 | 4 | 2 | 1 | 4{3} |
| Треугольная призма |  |  3.4.4 | 2 3 | 2 | D3h | C33a | -- | U76a | K01a | 6 | 9 | 5 | 2 | 1 | 2{3} +3{4} |
| Усечённый тетраэдр |  |  3.6.6 | 2 3 | 3 | Td | C16 | W006 | U02 | K07 | 12 | 18 | 8 | 2 | 1 | 4{3} +4{6} |
| Усечённый куб |  |  3.8.8 | 2 3 | 4 | Oh | C21 | W008 | U09 | K14 | 24 | 36 | 14 | 2 | 1 | 8{3} +6{8} |
| Усечённый додекаэдр |  |  3.10.10 | 2 3 | 5 | Ih | C29 | W010 | U26 | K31 | 60 | 90 | 32 | 2 | 1 | 20{3} +12{10} |
| Куб |  |  4.4.4 | 3 | 2 4 | Oh | C18 | W003 | U06 | K11 | 8 | 12 | 6 | 2 | 1 | 6{4} |
| Пятиугольная призма |  |  4.4.5 | 2 5 | 2 | D5h | C33b | -- | U76b | K01b | 10 | 15 | 7 | 2 | 1 | 5{4} +2{5} |
| Шестиугольная призма |  |  4.4.6 | 2 6 | 2 | D6h | C33c | -- | U76c | K01c | 12 | 18 | 8 | 2 | 1 | 6{4} +2{6} |
| Восьмиугольная призма |  |  4.4.8 | 2 8 | 2 | D8h | C33e | -- | U76e | K01e | 16 | 24 | 10 | 2 | 1 | 8{4} +2{8} |
| Десятиугольная призма |  |  4.4.10 | 2 10 | 2 | D10h | C33g | -- | U76g | K01g | 20 | 30 | 12 | 2 | 1 | 10{4} +2{10} |
| Двенадцатиугольная призма |  |  4.4.12 | 2 12 | 2 | D12h | C33i | -- | U76i | K01i | 24 | 36 | 14 | 2 | 1 | 12{4} +2{12} |
| Усечённый октаэдр |  |  4.6.6 | 2 4 | 3 | Oh | C20 | W007 | U08 | K13 | 24 | 36 | 14 | 2 | 1 | 6{4} +8{6} |
| Усечённый кубооктаэдр |  |  4.6.8 | 2 3 4 | | Oh | C23 | W015 | U11 | K16 | 48 | 72 | 26 | 2 | 1 | 12{4} +8{6} +6{8} |
| Ромбоусечённый икосододекаэдр |  |  4.6.10 | 2 3 5 | | Ih | C31 | W016 | U28 | K33 | 120 | 180 | 62 | 2 | 1 | 30{4} +20{6} +12{10} |
| Додекаэдр |  |  5.5.5 | 3 | 2 5 | Ih | C26 | W005 | U23 | K28 | 20 | 30 | 12 | 2 | 1 | 12{5} |
| Усечённый икосаэдр |  |  5.6.6 | 2 5 | 3 | Ih | C27 | W009 | U25 | K30 | 60 | 90 | 32 | 2 | 1 | 12{5} +20{6} |
| Октаэдр |  |  3.3.3.3 | 4 | 2 3 | Oh | C17 | W002 | U05 | K10 | 6 | 12 | 8 | 2 | 1 | 8{3} |
| Квадратная антипризма |  |  3.3.3.4 | | 2 2 4 | D4d | C34a | -- | U77a | K02a | 8 | 16 | 10 | 2 | 1 | 8{3} +2{4} |
| Пятиугольная антипризма |  |  3.3.3.5 | | 2 2 5 | D5d | C34b | -- | U77b | K02b | 10 | 20 | 12 | 2 | 1 | 10{3} +2{5} |
| Шестиугольная антипризма |  |  3.3.3.6 | | 2 2 6 | D6d | C34c | -- | U77c | K02c | 12 | 24 | 14 | 2 | 1 | 12{3} +2{6} |
| Восьмиугольная антипризма |  |  3.3.3.8 | | 2 2 8 | D8d | C34e | -- | U77e | K02e | 16 | 32 | 18 | 2 | 1 | 16{3} +2{8} |
| Десятиугольная антипризма |  |  3.3.3.10 | | 2 2 10 | D10d | C34g | -- | U77g | K02g | 20 | 40 | 22 | 2 | 1 | 20{3} +2{10} |
| Двенадцатиугольная антипризма |  |  3.3.3.12 | | 2 2 12 | D12d | C34i | -- | U77i | K02i | 24 | 48 | 26 | 2 | 1 | 24{3} +2{12} |
| Кубооктаэдр |  |  3.4.3.4 | 2 | 3 4 | Oh | C19 | W011 | U07 | K12 | 12 | 24 | 14 | 2 | 1 | 8{3} +6{4} |
| Ромбокубооктаэдр |  |  3.4.4.4 | 3 4 | 2 | Oh | C22 | W013 | U10 | K15 | 24 | 48 | 26 | 2 | 1 | 8{3} +(6+12){4} |
| Ромбоикосододекаэдр |  |  3.4.5.4 | 3 5 | 2 | Ih | C30 | W014 | U27 | K32 | 60 | 120 | 62 | 2 | 1 | 20{3} +30{4} +12{5} |
| Икосододекаэдр |  |  3.5.3.5 | 2 | 3 5 | Ih | C28 | W012 | U24 | K29 | 30 | 60 | 32 | 2 | 1 | 20{3} +12{5} |
| Икосаэдр |  |  3.3.3.3.3 | 5 | 2 3 | Ih | C25 | W004 | U22 | K27 | 12 | 30 | 20 | 2 | 1 | 20{3} |
| Плосконосый куб |  |  3.3.3.3.4 | | 2 3 4 | O | C24 | W017 | U12 | K17 | 24 | 60 | 38 | 2 | 1 | (8+24){3} +6{4} |
| Плосконосый додекаэдр |  |  3.3.3.3.5 | | 2 3 5 | I | C32 | W018 | U29 | K34 | 60 | 150 | 92 | 2 | 1 | (20+60){3} +12{5} |
Однородные звёздчатые многогранники
| Название | Рисунок | Символ Витхоффа | Тип вершинной конфигурации | Симм. | C# | W# | U# | K# | Вер- шин | Рё- бер | Гра- ней | Плот- ность | Граней по типам | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Октагемиоктаэдр |  | 3/2 3 | 3 |  6.3/2.6.3 | Oh | C37 | W068 | U03 | K08 | 12 | 24 | 12 | 0 | 8{3}+4{6} | |
| Тетрагемигексаэдр |  | 3/2 3 | 2 |  4.3/2.4.3 | Td | C36 | W067 | U04 | K09 | 6 | 12 | 7 | 1 | 4{3}+3{4} | |
| Кубогемиоктаэдр |  | 4/3 4 | 3 |  6.4/3.6.4 | Oh | C51 | W078 | U15 | K20 | 12 | 24 | 10 | -2 | 6{4}+4{6} | |
| Большой додекаэдр |  | 5/2 | 2 5 |  (5.5.5.5.5)/2 | Ih | C44 | W021 | U35 | K40 | 12 | 30 | 12 | -6 | 3 | 12{5} |
| Большой икосаэдр |  | 5/2 | 2 3 |  (3.3.3.3.3)/2 | Ih | C69 | W041 | U53 | K58 | 12 | 30 | 20 | 2 | 7 | 20{3} |
| Большой битригональный икосододекаэдр |  | 3/2 | 3 5 |  (5.3.5.3.5.3)/2 | Ih | C61 | W087 | U47 | K52 | 20 | 60 | 32 | -8 | 6 | 20{3}+12{5} |
| Малый ромбогексаэдр |  | 2 4 (3/2 4/2) | |  4.8.4/3.8 | Oh | C60 | W086 | U18 | K23 | 24 | 48 | 18 | -6 | 12{4}+6{8} | |
| Малый кубокубооктаэдр |  | 3/2 4 | 4 |  8.3/2.8.4 | Oh | C38 | W069 | U13 | K18 | 24 | 48 | 20 | -4 | 2 | 8{3}+6{4}+6{8} |
| Большой ромбокубооктаэдр |  | 3/2 4 | 2 |  4.3/2.4.4 | Oh | C59 | W085 | U17 | K22 | 24 | 48 | 26 | 2 | 5 | 8{3}+(6+12){4} |
| Малый додеко- гемидодекаэдр |  | 5/4 5 | 5 |  10.5/4.10.5 | Ih | C65 | W091 | U51 | K56 | 30 | 60 | 18 | -12 | 12{5}+6{10} | |
| Большой додеко- гемиикосаэдр |  | 5/4 5 | 3 |  6.5/4.6.5 | Ih | C81 | W102 | U65 | K70 | 30 | 60 | 22 | -8 | 12{5}+10{6} | |
| Малый икосо- гемидодекаэдр |  | 3/2 3 | 5 |  10.3/2.10.3 | Ih | C63 | W089 | U49 | K54 | 30 | 60 | 26 | -4 | 20{3}+6{10} | |
| Малый додекоикосаэдр |  | 3 5 (3/2 5/4) | |  10.6.10/9.6/5 | Ih | C64 | W090 | U50 | K55 | 60 | 120 | 32 | -28 | 20{6}+12{10} | |
| Малый ромбододекаэдр |  | 2 5 (3/2 5/2) | |  10.4.10/9.4/3 | Ih | C46 | W074 | U39 | K44 | 60 | 120 | 42 | -18 | 30{4}+12{10} | |
| Малый додеко- икосододекаэдр |  | 3/2 5 | 5 |  10.3/2.10.5 | Ih | C42 | W072 | U33 | K38 | 60 | 120 | 44 | -16 | 2 | 20{3}+12{5}+12{10} |
| Ромбоикосаэдр |  | 2 3 (5/4 5/2) | |  6.4.6/5.4/3 | Ih | C72 | W096 | U56 | K61 | 60 | 120 | 50 | -10 | 30{4}+20{6} | |
| Большой икосо- икосододекаэдр |  | 3/2 5 | 3 |  6.3/2.6.5 | Ih | C62 | W088 | U48 | K53 | 60 | 120 | 52 | -8 | 6 | 20{3}+12{5}+20{6} |
| Пентаграммная призма |  | 2 5/2 | 2 |  5/2.4.4 | D5h | C33b | -- | U78a | K03a | 10 | 15 | 7 | 2 | 2 | 5{4}+2{5/2} |
| Гептаграммная призма 7/2 |  | 2 7/2 | 2 |  7/2.4.4 | D7h | C33d | -- | U78b | K03b | 14 | 21 | 9 | 2 | 2 | 7{4}+2{7/2} |
| Гептаграммная призма 7/3 |  | 2 7/3 | 2 |  7/3.4.4 | D7h | C33d | -- | U78c | K03c | 14 | 21 | 9 | 2 | 3 | 7{4}+2{7/3} |
| Октаграммная призма |  | 2 8/3 | 2 |  8/3.4.4 | D8h | C33e | -- | U78d | K03d | 16 | 24 | 10 | 2 | 3 | 8{4}+2{8/3} |
| Пентаграммная антипризма |  | | 2 2 5/2 |  5/2.3.3.3 | D5h | C34b | -- | U79a | K04a | 10 | 20 | 12 | 2 | 2 | 10{3}+2{5/2} |
| Пентаграммная скрещённая антипризма |  | | 2 2 5/3 |  5/3.3.3.3 | D5d | C35a | -- | U80a | K05a | 10 | 20 | 12 | 2 | 3 | 10{3}+2{5/2} |
| Гептаграммная антипризма 7/2 |  | | 2 2 7/2 |  7/2.3.3.3 | D7h | C34d | -- | U79b | K04b | 14 | 28 | 16 | 2 | 3 | 14{3}+2{7/2} |
| Гептаграммная антипризма 7/3 |  | | 2 2 7/3 |  7/3.3.3.3 | D7d | C34d | -- | U79c | K04c | 14 | 28 | 16 | 2 | 3 | 14{3}+2{7/3} |
| Гептаграммная скрещённая антипризма |  | | 2 2 7/4 |  7/4.3.3.3 | D7h | C35b | -- | U80b | K05b | 14 | 28 | 16 | 2 | 4 | 14{3}+2{7/3} |
| Октаграммная антипризма |  | | 2 2 8/3 |  8/3.3.3.3 | D8d | C34e | -- | U79d | K04d | 16 | 32 | 18 | 2 | 3 | 16{3}+2{8/3} |
| Октаграммная скрещённая антипризма |  | | 2 2 8/5 |  8/5.3.3.3 | D8d | C35c | -- | U80c | K05c | 16 | 32 | 18 | 2 | 5 | 16{3}+2{8/3} |
| Малый звёздчатый додекаэдр |  | 5 | 2 5/2 |  (5/2)5 | Ih | C43 | W020 | U34 | K39 | 12 | 30 | 12 | -6 | 3 | 12{5/2} |
| Большой звёздчатый додекаэдр |  | 3 | 2 5/2 |  (5/2)3 | Ih | C68 | W022 | U52 | K57 | 20 | 30 | 12 | 2 | 7 | 12{5/2} |
| Битриагональный додекододекаэдр |  | 3 | 5/3 5 |  (5/3.5)3 | Ih | C53 | W080 | U41 | K46 | 20 | 60 | 24 | -16 | 4 | 12{5}+12{5/2} |
| Малый битриагональный икосододекаэдр |  | 3 | 5/2 3 |  (5/2.3)3 | Ih | C39 | W070 | U30 | K35 | 20 | 60 | 32 | -8 | 2 | 20{3}+12{5/2} |
| Звёздчатый усечённый гексаэдр |  | 2 3 | 4/3 |  8/3.8/3.3 | Oh | C66 | W092 | U19 | K24 | 24 | 36 | 14 | 2 | 7 | 8{3}+6{8/3} |
| Большой ромбогексаэдр |  | 2 4/3 (3/2 4/2) | |  4.8/3.4/3.8/5 | Oh | C82 | W103 | U21 | K26 | 24 | 48 | 18 | -6 | 12{4}+6{8/3} | |
| Большой кубокубооктаэдр |  | 3 4 | 4/3 |  8/3.3.8/3.4 | Oh | C50 | W077 | U14 | K19 | 24 | 48 | 20 | -4 | 4 | 8{3}+6{4}+6{8/3} |
| Большой додеко- гемидодекаэдр |  | 5/35/2 | 5/3 |  10/3.5/3.10/3.5/2 | Ih | C86 | W107 | U70 | K75 | 30 | 60 | 18 | -12 | 12{5/2}+6{10/3} | |
| Малый додеко- гемиикосаэдр |  | 5/35/2 | 3 |  6.5/3.6.5/2 | Ih | C78 | W100 | U62 | K67 | 30 | 60 | 22 | -8 | 12{5/2}+10{6} | |
| Додекододекаэдр |  | 2 | 5/2 5 |  (5/2.5)2 | Ih | C45 | W073 | U36 | K41 | 30 | 60 | 24 | -6 | 3 | 12{5}+12{5/2} |
| Большой икосо- гемидодекаэдр |  | 3/2 3 | 5/3 |  10/3.3/2.10/3.3 | Ih | C85 | W106 | U71 | K76 | 30 | 60 | 26 | -4 | 20{3}+6{10/3} | |
| Большой икосо- додекаэдр |  | 2 | 5/2 3 |  (5/2.3)2 | Ih | C70 | W094 | U54 | K59 | 30 | 60 | 32 | 2 | 7 | 20{3}+12{5/2} |
| Кубоусечённый кубооктаэдр |  | 4/3 3 4 | |  8/3.6.8 | Oh | C52 | W079 | U16 | K21 | 48 | 72 | 20 | -4 | 4 | 8{6}+6{8}+6{8/3} |
| Большой усечённый кубооктаэдр |  | 4/3 2 3 | |  8/3.4.6/5 | Oh | C67 | W093 | U20 | K25 | 48 | 72 | 26 | 2 | 1 | 12{4}+8{6}+6{8/3} |
| Усечённый большой додекаэдр |  | 2 5/2 | 5 |  10.10.5/2 | Ih | C47 | W075 | U37 | K42 | 60 | 90 | 24 | -6 | 3 | 12{5/2}+12{10} |
| Малый звёздчатый усечённый додекаэдр |  | 2 5 | 5/3 |  10/3.10/3.5 | Ih | C74 | W097 | U58 | K63 | 60 | 90 | 24 | -6 | 9 | 12{5}+12{10/3} |
| Большой звёздчатый усечённый додекаэдр |  | 2 3 | 5/3 |  10/3.10/3.3 | Ih | C83 | W104 | U66 | K71 | 60 | 90 | 32 | 2 | 13 | 20{3}+12{10/3} |
| Усечённый большой икосаэдр |  | 2 5/2 | 3 |  6.6.5/2 | Ih | C71 | W095 | U55 | K60 | 60 | 90 | 32 | 2 | 7 | 12{5/2}+20{6} |
| Большой додекоикосаэдр |  | 3 5/3(3/2 5/2) | |  6.10/3.6/5.10/7 | Ih | C79 | W101 | U63 | K68 | 60 | 120 | 32 | -28 | 20{6}+12{10/3} | |
| Большой ромбододекаэдр |  | 2 5/3 (3/2 5/4) | |  4.10/3.4/3.10/7 | Ih | C89 | W109 | U73 | K78 | 60 | 120 | 42 | -18 | 30{4}+12{10/3} | |
| Икосо- додекододекаэдр |  | 5/3 5 | 3 |  6.5/3.6.5 | Ih | C56 | W083 | U44 | K49 | 60 | 120 | 44 | -16 | 4 | 12{5}+12{5/2}+20{6} |
| Малый битриагональный додеко- икосододекаэдр |  | 5/3 3 | 5 |  10.5/3.10.3 | Ih | C55 | W082 | U43 | K48 | 60 | 120 | 44 | -16 | 4 | 20{3}+12{;5/2}+12{10} |
| Большой битриагональный додеко- икосододекаэдр |  | 3 5 | 5/3 |  10/3.3.10/3.5 | Ih | C54 | W081 | U42 | K47 | 60 | 120 | 44 | -16 | 4 | 20{3}+12{5}+12{10/3} |
| Большой додеко- икосододекаэдр |  | 5/2 3 | 5/3 |  10/3.5/2.10/3.3 | Ih | C77 | W099 | U61 | K66 | 60 | 120 | 44 | -16 | 10 | 20{3}+12{5/2}+12{10/3} |
| Малый икосо- икосододекаэдр |  | 5/2 3 | 3 |  6.5/2.6.3 | Ih | C40 | W071 | U31 | K36 | 60 | 120 | 52 | -8 | 2 | 20{3}+12{5/2}+20{6} |
| Ромбододеко- додекаэдр |  | 5/2 5 | 2 |  4.5/2.4.5 | Ih | C48 | W076 | U38 | K43 | 60 | 120 | 54 | -6 | 3 | 30{4}+12{5}+12{5/2} |
| Большой ромбоикосо- додекаэдр |  | 5/3 3 | 2 |  4.5/3.4.3 | Ih | C84 | W105 | U67 | K72 | 60 | 120 | 62 | 2 | 13 | 20{3}+30{4}+12{5/2} |
| Икосоусечённый додекододекаэдр |  | 5/3 3 5 | |  10/3.6.10 | Ih | C57 | W084 | U45 | K50 | 120 | 180 | 44 | -16 | 4 | 20{6}+12{10}+12{10/3} |
| Усечённый додекододекаэдр |  | 5/3 2 5 | |  10/3.4.10/9 | Ih | C75 | W098 | U59 | K64 | 120 | 180 | 54 | -6 | 3 | 30{4}+12{10}+12{10/3} |
| Большой усечённый икосододекаэдр |  | 5/3 2 3 | |  10/3.4.6 | Ih | C87 | W108 | U68 | K73 | 120 | 180 | 62 | 2 | 13 | 30{4}+20{6}+12{10/3} |
| Плосконосый додекододекаэдр |  | | 2 5/2 5 |  3.3.5/2.3.5 | I | C49 | W111 | U40 | K45 | 60 | 150 | 84 | -6 | 3 | 60{3}+12{5}+12{5/2} |
| Вывернутый плосконосый додекододекаэдр |  | | 5/3 2 5 |  35/3.3.3.5 | I | C76 | W114 | U60 | K65 | 60 | 150 | 84 | -6 | 9 | 60{3}+12{5}+12{5/2} |
| Большой плосконосый икосододекаэдр |  | | 2 5/2 3 |  34.5/2 | I | C73 | W116 | U57 | K62 | 60 | 150 | 92 | 2 | 7 | (20+60){3}+12{5/2} |
| Большой вывернутый плосконосый икосододекаэдр |  | | 5/3 2 3 |  33.5/3 | I | C88 | W113 | U69 | K74 | 60 | 150 | 92 | 2 | 13 | (20+60){3}+12{5/2} |
| Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр |  | | 3/25/3 2 |  (34.5/2)/2 | I | C90 | W117 | U74 | K79 | 60 | 150 | 92 | 2 | 37 | (20+60){3}+12{5/2} |
| Большой плосконосый додеко- икосододекаэдр |  | | 5/35/2 3 |  33.5/3.3.5/2 | I | C80 | W115 | U64 | K69 | 60 | 180 | 104 | -16 | 10 | (20+60){3}+(12+12){5/2} |
| Плосконосый икосо- додекододекаэдр |  | | 5/3 3 5 |  33.5.5/3 | I | C58 | W112 | U46 | K51 | 60 | 180 | 104 | -16 | 4 | (20+60){3}+12{5}+12{5/2} |
| Малый плосконосый икосо- икосододекаэдр |  | | 5/2 3 3 |  35.5/2 | Ih | C41 | W110 | U32 | K37 | 60 | 180 | 112 | -8 | 2 | (40+60){3}+12{5/2} |
| Малый вывернутый обратноплосконосый икосо- икосододекаэдр |  | | 3/23/25/2 |  (35.5/3)/2 | Ih | C91 | W118 | U72 | K77 | 60 | 180 | 112 | -8 | 38 | (40+60){3}+12{5/2} |
| Большой биромбо- икосододекаэдр |  | | 3/25/3 3 5/2 |  (4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2 | Ih | C92 | W119 | U75 | K80 | 60 | 240 | 124 | -56 | 40{3}+60{4}+24{5/2} |
Особый случай
| Название по Бауэру (Bower) | Рисунок | Символ Витхоффа | Вершинная конфигурация | Группа симметрии | C# | W# | U# | K# | Вершин | Рёбер | Граней | Плот- ность | Граней по типам | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Большой биплосконосый биромбо- бидодекаэдр |  | | (3/2) 5/3 (3) 5/2 |  (5/2.4.3.3.3.4. 5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 | Ih | -- | -- | -- | -- | 60 | 240 (*) | 204 | 24 | 120{3}+60{4}+24{5/2} |
- (*): В Большом биплосконосом биромбобидодекаэдре 120 из 240 рёбер принадлежат четырём граням. Если эти 120 рёбер считать как две пары совпадающих рёбер, где каждое ребро принадлежит только двум граням, то всего будет 360 рёбер и эйлерова характеристика становится равной −88. Ввиду этой вырожденности рёбер многогранник не всеми признаётся как однородный.
Обозначения в колонках
- U# — Однородные номера: U01—U80 (Тетраэдр первый, Призмы с номерами 76+)
- K# — Kaleido software номера: K01—K80 (Kn = Un-5 для n = 6 to 80) (призмы 1—5, тетраэдр и далее 6+)
- W# — Модели Магнуса Веннинджера: W001—W119
- 1—18 — 5 выпуклых правильных и 13 выпуклых полуправильных
- 20—22, 41 — 4 невыпуклые правильные
- 19—66 — 48 звёздчатых форм/соединений (нерегулярные не даны в этом списке)
- 67—109 — 43 невыпуклых остроносых однородных многогранников
- 110—119 — 10 невыпуклых плосконосых однородных многогранников
- — эйлерова характеристика. Однородные мозаики на плоскости соответствуют топологии тора с эйлеровой характеристикой ноль.
- Плотность — плотность многогранника представляет число оборотов многогранника вокруг центра. Число отсутствует для неориентируемых многогранников и для гемиполиэдров (многогранников, имеющих грани, проходящие через центр многогранника), для которых нет чёткого определения плотности.
- Замечание о рисунках вершинных фигур:
- Светлые отрезки представляют «вершинную фигуру» многогранника. Цветные грани включены в рисунок вершинной фигуры, чтобы видеть их связи. Некоторые пересекающиеся грани нарисованы визуально неверно, поскольку визуально они не показывают, какие части находится впереди.
Примечания
- Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139-156..
- Coxeter, 1938.
- Веннинджер, 1974.
- Kaleidoscopic Construction of Uniform Polyhedra, Dr. Zvi Har’El
- Maeder, 1993.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
- Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 0-521-54325-8.
- H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — The Royal Society, 1954. — Т. 246, вып. 916. — С. 401—450. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1954.0003. — .
- H. S. M. Coxeter, Patrick du Val, H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — (mathematical series 6: 1–26.). Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
- J. Skilling. The complete set of uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. — 1975. — Т. 278. — С. 111–135. — ISSN 0080-4614. — doi:10.1098/rsta.1975.0022. — .
- Roman E. Maeder. Uniform Polyhedra // The Mathematica Journal. — 1993. — Т. 3, вып. 4.
Ссылки
- Stella: Polyhedron Navigator. — Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
- Robert Webb. Uniform Polyhedra and their Duals.
- Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139-156.
- Uniform indexing: U1—U80, (Tetrahedron first)
- Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Архивировано 11 сентября 2006 года.
- Weisstein, Eric W. Uniform Polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Roman E. Maeder. The Uniform Polyhedra. MathConsult AG.
- Sam Gratrix. Uniform Polyhedra Summary (недоступная ссылка). Gratrix.net. Дата обращения: 15 ноября 2015. Архивировано 10 ноября 2017 года.
- (недоступная ссылка — история)
- James R. Buddenhagen. Uniform Polyhedra.
- Kaleido Indexing: K1-K80 (Pentagonal prism first)
- Zvi Har’El. Kaleido (недоступная ссылка). Архивировано 20 мая 2011 года.
- Uniform Solution for Uniform Polyhedra (недоступная ссылка). Архивировано 15 июля 2009 года.
- V. Bulatov. Uniform Polyhedra.
- Jim McNeill. Uniform Polyhedra.
- U. Mikloweit. Facetings of uniform polyhedra.
- Zvi Har’El. Kaleido (недоступная ссылка). Архивировано 20 мая 2011 года.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.