Большой звёздчатый додекаэдр
Большой звёздчатый додекаэдр[1][2][3] — это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли {5/2,3}. Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников.
| Большой звёздчатый додекаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | тело Кеплера — Пуансо |
| Звёздчатая форма | Правильного додекаэдра |
| Элементы | F = 12, E = 30, V = 20 |
| Характеристика Эйлера | = 2 |
| Грани по типам | 12{5/2} |
| Символ Шлефли | {5/2,3} |
| Символ Витхоффа | 3 | 25/2 |
| Диаграмма Коксетера |       |
| Группа симметрии | Ih, H3, [5,3], (*532) |
| Обозначения | U52,C68, W22 |
| Свойства | правильный невыпуклый |
 (5/2)3 (Вершинная фигура) | 
|
Он состоит из 12 пересекающихся граней в виде пентаграмм с тремя пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
Он имеет то же самое расположение вершин, что и правильный додекаэдр, а также является звёздчатой формой (меньшего) додекаэдра. Это единственная звёздчатая форма додекаэдра с таким свойством, за исключением самого додекаэдра. Его двойственный многогранник, большой икосаэдр, связан похожим образом с икосаэдром.
Если срезать треугольные пирамиды, останется икосаэдр.
Если грани не рассматривать как пентаграммы, а рассматривать как набор отдельных треугольников, он топологически связан с триакисикосаэдром, имеет ту же самую связь граней, но грани (равнобедренных) треугольников много длиннее.
Рисунки
| Прозрачная модель | Сферическая мозаика |
|---|---|
 Прозрачный большой звёздчатый додекаэдр (вращающийся) |
 Этот многогранник можно представить как сферическую мозаику с плотностью 7. (Одна сферическая грань в виде пентаграммы прочерчена синей линией и заполнена жёлтым) |
| Развёртка | Грани звёздчатой формы |
 × 20Развёртка большого звёздчатого додекаэдра (геометрия поверхности). Двадцать равнобедренных треугольных пирамид расположены так же, как грани икосаэдра |
 Его можно построить как третью (из трёх) звёздчатых форм додекаэдра. В списке моделей Веннинджера это модель [W20]. |
Связанные многогранники
Процесс усечения, применённый к большому звёздчатому многограннику, даёт серию однородных многогранников. Усечение рёбер до точек (полное усечение) даёт большой икосододекаэдр. Процесс завершается на двойном полном усечении, при котором исходные грани сводятся к точкам, результат — большой икосаэдр.
Усечённый большой звёздчатый многогранник — это вырожденный многогранник, имеющий 20 треугольных граней, оставшихся от усечённых вершин и 12 (скрытых) пятиугольных граней, оставшихся от исходных граней. Последние образуют большой додекаэдр, вписанный в икосаэдр и имеющий с ним общие рёбра.
| Название | Большой звёздчатый додекаэдр |
Усечённый большой звёздчатый додекаэдр | Большой икосидодекаэдр |
Усечённый большой икосаэдр |
Большой икосаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Диаграмма Коксетера |
|
|
|
|
|
| Рисунок | |
 |
 |
 |
|
Примечания
- Веннинджер, 1974, с. 45, 50.
- Люстерник, 1956, с. 179-180.
- Энциклопедия элементарной математики, том IV, с. 443-446.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: ГИТТЛ, 1956.
- Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. Энциклопедия элементарной математики. — ГИФМЛ, 1963. — Т. IV.
Ссылки
- Eric W. Weisstein Great Stellated Dodecahedron (Uniform polyhedron) на MathWorld
- Weisstein, Eric W. Three stellations of the dodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Uniform polyhedra and duals
