Список групп сферической симметрии

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая, циклическая, тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия и икосаэдральная симметрия.

Точечная группа в трёхмерном пространстве

Симметрии-инволюции
Cs, (*)
[ ] =
Циклическая симметрия
Cnv, (*nn)
[n] =
Диэдральная симметрия
Dnh, (*n22)
[n,2] =
Группы многогранников, [n,3], (*n32)

Тетраэдральная симметрия
Td, (*332)
[3,3] =
Октаэдральная симметрия
Oh, (*432)
[4,3] =
Икосаэдральная симметрия
Ih, (*532)
[5,3] =

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса, записи Коксетера [1], орбифолдной записи [2] и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов, с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию [3].

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии, 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 [4].

Симметрии-инволюции

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями: тождественное преобразование (C1), зеркальная симметрия (Cs), вращательная симметрия (C2), и центральная симметрия (Ci).

Инт. Геом.
[5]		 Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
1 1 11 C1 C1 ][
[ ]+		 1
2 2 22 D1
= C2		 D2
= C2		 [2]+ 2
Инт. Геом. Ориб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
1 22 × Ci
= S2		 CC2 [2+,2+] 2
2
= m		 1 * Cs
= C1v
= C1h		 ±C1
= CD2		 [ ] 2

Циклическая симметрия

Существуют четыре бесконечных семейства циклической симметрии с n=2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии)

Инт. Гео
 Орб. Шёнф. Конвей. Кокс. Пор. Фунд.
область
2 2 22 C2
= D1		 C2
= D2		 [2]+
[2,1]+		 2
mm2 2 *22 C2v
= D1h		 CD4
= DD4		 [2]
[2,1]		 4
4 42 2× S4 CC4 [2+,4+] 4
2/m 22 2* C2h
= D1d		 ±C2
= ±D2		 [2,2+]
[2+,2]		 4
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
3
4
5
6
n		 3
4
5
6
n		 33
44
55
66
nn		 C3
C4
C5
C6
Cn		 C3
C4
C5
C6
Cn		 [3]+
[4]+
[5]+
[6]+
[n]+
 3
4
5
6
n
3m
4mm
5m
6mm
-		 3
4
5
6
n		 *33
*44
*55
*66
*nn		 C3v
C4v
C5v
C6v
Cnv		 CD6
CD8
CD10
CD12
CD2n		 [3]
[4]
[5]
[6]
[n]		 6
8
10
12
2n
3
8
5
12
-		 62
82
10.2
12.2
2n.2		 3×
4×
5×
6×
n×		 S6
S8
S10
S12
S2n		 ±C3
CC8
±C5
CC12
CC2n / ±Cn		 [2+,6+]
[2+,8+]
[2+,10+]
[2+,12+]
[2+,2n+]		 6
8
10
12
2n
3/m=6
4/m
5/m=10
6/m
n/m		 32
42
52
62
n2		 3*
4*
5*
6*
n*		 C3h
C4h
C5h
C6h
Cnh		 CC6
±C4
CC10
±C6
±Cn / CC2n		 [2,3+]
[2,4+]
[2,5+]
[2,6+]
[2,n+]		 6
8
10
12
2n

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства с диэдральной симметрией с n равным 2 и выше. (n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
222 2.2 222 D2 D4 [2,2]+ 4
42m 42 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8
mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
32
422
52
622		 3.2
4.2
5.2
6.2
n.2		 223
224
225
226
22n		 D3
D4
D5
D6
Dn		 D6
D8
D10
D12
D2n		 [2,3]+
[2,4]+
[2,5]+
[2,6]+
[2,n]+		 6
8
10
12
2n
3m
82m
5m
12.2m
 62
82
10.2
12.2
n2
 2*3
2*4
2*5
2*6
2*n		 D3d
D4d
D5d
D6d
Dnd		 ±D6
DD16
±D10
DD24
DD4n / ±D2n		 [2+,6]
[2+,8]
[2+,10]
[2+,12]
[2+,2n]		 12
16
20
24
4n
6m2
4/mmm
10m2
6/mmm		 32
42
52
62
n2		 *223
*224
*225
*226
*22n		 D3h
D4h
D5h
D6h
Dnh		 DD12
±D8
DD20
±D12
±D2n / DD4n		 [2,3]
[2,4]
[2,5]
[2,6]
[2,n]		 12
16
20
24
4n

Симметрии многогранников

Существует три типа симметрии многогранников: тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия и икосаэдральная симметрия, названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
23 3.3 332 T T [3,3]+
= [4,3+]+		 12
m3 43 3*2 Th ±T [4,3+] 24
43m 33 *332 Td TO [3,3]
= [1+,4,3]		 24
Октаэдральная симметрия
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
432 4.3 432 O O [4,3]+
= [[3,3]]+		 24
m3m 43 *432 Oh ±O [4,3]
= [[3,3]]		 48
Икосаэдральная симметрия
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
532 5.3 532 I I [5,3]+ 60
532/m 53 *532 Ih ±I [5,3] 120

См. также

Примечания
  1. Johnson, 2015.
  2. Conway, 2008.
  3. Conway, 2009.
  4. Sands, 1993.
  5. Hestenes, Holt, 2007.

Литература
  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
  • Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. 165. — ISBN 0-486-67839-3.
  • Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-517-7.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
  • D. Hestenes, J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514.

Внешние ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.