Икосаэдральная симметрия

Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет порядок симметрии 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Фундаментальные области икосаэдральной симметрии

Футбольный мяч, пример сферического усечённого икосаэдра, имеет полную икосаэдральную симметрию.

Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A₅ (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A₅ $\times$ Z₂. Последняя группа известна также как группа Коксетера H₃ и представляется в нотации Коксетера как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Как точечная группа

Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии.

Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией, так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп.

Шёнфлис	Коксетер		Орбифолд	Абстрактная структура	Порядок
I	[5,3]⁺		532	A₅	60
I_h	[5,3]		*532	$A_{5}\times 2$	120

Задания групп, соответствующие описанным выше:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника.

Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам[1].

Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I).

Визуализация

Шёнфлис (Орбифолд)	Нотация Коксетера	Элементы	Зеркальные диаграммы
Шёнфлис (Орбифолд)	Нотация Коксетера	Элементы	Ортогональная	Стереографическая проекция
I_h (*532)	[5,3]	Зеркальных линий: 15
I (532)	[5,3]⁺	Точек вращения: 12₅ 20₃ 30₂

Структура группы


Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.

Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.

Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A₅, знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов (которое вписано в двенадцатигранник), соединение пяти октаэдров, или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).

Группа содержит 5 версий T_h с 20 версиями D₃ (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D₅.

Полная икосаэдральная группа I_h имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы I_h индекса 2. Группа I_h изоморфна $I\times Z_{2}$ , или $A_{5}\times Z_{2}$ , с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z₂ записывается мультипликативно.

I_h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров, но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (cоединения пяти тетраэдров), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S₅ и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.

Группа содержит 10 версий D_3d и 6 версий D_5d (симметрии аналогичные антирпизимам).

I изоморфна также группе PSL₂(5), но I_h не изоморфна SL₂(5).

Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра

Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:

S₅, симметрическая группа 5 элементов
I_h, полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H₃)
2I, бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Иными словами,

$A_{5}$ является нормальной подгруппой группы $S_{5}$
$A_{5}$ является факторгруппой группы $I_{h}$ , которая является прямым произведением
$A_{5}$ является факторгруппой группы $2I$

Заметим, что $A_{5}$ имеет исключительное неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но $S_{5}$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.

Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ проективная специальная линейная группа;
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ проективная полная линейная группа;
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ cпециальная линейная группа.

Классы сопряжённости

Классы сопряжённости
I	I_h
Тождество $12\times$ вращение на 72°, порядок 5 $12\times$ вращение на 144°, порядок 5 $20\times$ вращение на 120°, порядок 3 $15\times$ вращение на 180°, порядок 2	Отражение $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 $20\times$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 $15\times$ зеркальное отражение, порядок 2

Явное представление матрицами вращений

В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений $I$ , описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам $(\pm 1,0,\pm \phi )$ , где $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу $I_{h}$ . Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как $R_{6}$ и $R_{58}$ , пока размер множества не перестанет расти.

R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}

R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}

R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}

R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}

R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}

R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}

R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией

Связь подгрупп

Связь хиральных подгрупп

Шёнфлис	Коксетер	Орбифолд	Г-М	Структура	Порядок	Индекс
I_h	[5,3]	*532	532/m	A₅ $\times Z_{2}$	120	1
D_2h	[2,2]	*222	mmm	Dih₂ $\times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}$	8	15
C_5v	[5]	*55	5m	Dih₅	10	12
C_3v	[3]	*33	3m	Dih₃=S₃	6	20
C_2v	[2]	*22	2mm	Dih₂=Dih₁²	4	30
C_s	[ ]	*	2 or m	Dih₁	2	60
T_h	[3⁺,4]	3*2	m3	$A_{4}\times Z_{2}$	24	5
D_5d	[2⁺,10]	2*5	10m2	$\mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}$	20	6
D_3d	[2⁺,6]	2*3	3m	$\mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}$	12	10
$D_{1d}=C_{2h}$	[2⁺,2]	2*	2/m	Dih₂=Z₂ $\times \mathrm {Dih} _{1}$	4	30
S₁₀	[2⁺,10⁺]	$5\times$	5	$Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}$	10	12
S₆	[2⁺,6⁺]	$3\times$	3	$Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}$	6	20
S₂	[2⁺,2⁺]	$\times$	1	$Z_{2}$	2	60
I	[5,3]⁺	532	532	A₅	60	2
T	[3,3]⁺	332	332	A₄	12	10
D₅	[2,5]⁺	522	522	Dih₅	10	12
D₃	[2,3]⁺	322	322	Dih₃=S₃	6	20
D₂	[2,2]⁺	222	222	$\mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}$	4	30
C₅	[5]⁺	55	5	$Z_{5}$	5	24
C₃	[3]⁺	33	3	$Z_{3}=A_{3}$	3	40
C₂	[2]⁺	22	2	$Z_{2}$	2	60
C₁	[ ]⁺	11	1	$Z_{1}$	1	120

Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.

Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.

Стабилизаторы вершин

Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.

стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C₃
стабилизаторы вершин в I_h дают диэдральные группы D₃
стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D₃
стабилизаторы противоположных пар вершин в I_h дают $D_{3}\times \pm 1$

Стабилизаторы рёбер

Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.

Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z₂
Стабилизаторы рёбер в I_h дают четверные группы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$
стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$ . Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
стабилизаторы пар рёбер в I_h дают $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$ . Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.

Стабилизаторы граней

Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают.

стабилизаторы граней в I дают циклические группы C₅
стабилизаторы граней в I_h дают диэдральные группы D₅
стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D₅
стабилизаторы противоположных пар граней в I_h дают $D_{5}\times \pm 1$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$ .

стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
стабилизаторы вписанного тетраэдра в I_h являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I_h являются копиями T_h

Фундаментальная область

Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:

икосаэдральная группа вращений I	Полная икосаэдральная группа I_h	Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями

В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.

Многогранники с икосаэдральной симметрией

Хиральные многогранники

Класс	Символы	Рисунок
Архимедовы	sr{5,3}
Каталановы	V3.3.3.3.5

Полная икосаэдральная симметрия

Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Каталановы тела
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Другие объекты с икосаэдральной симметрией

Примеры икосоэдральной симметрии

Феодария, радиолярия

Капсид аденовируса

Ион додекабората [B₁₂H₁₂]²⁻

Поверхности Барта
Структура вируса и Капсиды
В химии ион додекабората ([B₁₂H₁₂]²⁻) и молекула додекаэдрана (C₂₀H₂₀)

Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией

Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки[2] и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь. В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.

Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.

Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна[3]. Современное описание дано в статье Тота[4].

Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов[5][6] (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и dessins d'enfants (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления квартик Кляйна, ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).

Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — квартики Клейна (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы».

Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников.

См. также

Примечания

Hamilton, 1856, с. 446.
Kleinert, Maki, 1981, с. 219–259.
Klein, 1888.
Tóth, 2002, с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron.
Klein, 1878.
Klein, 1879.

Литература

Memorandum respecting a new System of Roots of Unity // Philosophical Magazine. — 1856. — Т. 12. — С. 446.
Kleinert H., Maki K. Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29, вып. 5. — С. 219–259. — doi:10.1002/prop.19810290503.
Felix Klein. Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14, вып. 3. — С. 428–471. — doi:10.1007/BF01677143. Перевод на английский
- On the order-seven transformation of elliptic functions // The Eightfold Way / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 978-0-521-66066-2.
Felix Klein. Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15, вып. 3—4. — С. 533–555. — doi:10.1007/BF02086276. Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165
Felix Klein. Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0.
Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X.
Peter R. Cromwell. Polyhedra. — Cambridge university press, 1997. — С. 296. — ISBN 9-521-55432-2.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Kaleidoscopes: Selected Writings of Coxeter H.S.M. / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
Johnson N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Icosahedral group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
THE SUBGROUPS OF W(H3) (Подгруппы других групп Коксетера) Gotz Pfeiffer

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_0674b2f991580f6f-1] Hamilton, 1856, с. 446.

[_d3712dc95e75f90d-2] Kleinert, Maki, 1981, с. 219–259.

[_f8a637e7aca4fd0d-3] Klein, 1888.

[_30e25d8ca73378a9-4] Tóth, 2002, с. 66; Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron.

[_03621c65daf167ac-5] Klein, 1878.

[_98f92931c657d891-6] Klein, 1879.