Теорема Белого

Теорема Белого — фундаментальное утверждение в алгебраической геометрии: любая неособая алгебраическая кривая ${\displaystyle C}$, определённая алгебраическими коэффициентами, представляет компактную риманову поверхность, которая является разветвлённым покрытием сферы Римана с ветвлением лишь в трёх точках. Установлена Геннадием Белым в 1979 году; результат оказался неожиданным, и в связи с ним Гротендиком было создано новое направление в алгебраической геометрии — теория детских рисунков, описывающая с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как ${\displaystyle H/\Gamma }$, где ${\displaystyle H}$ — верхняя полуплоскость, а ${\displaystyle \Gamma }$ — подгруппа с конечным индексом в модулярной группе, компактифицированная путём добавления каспов. Поскольку модулярная группа имеет неконгруэнтные подгруппы, отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой.

Функция Белого — голоморфное отображение из компактной римановой поверхности ${\displaystyle S}$ в комплексную проективную прямую ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} }$, разветвляющееся лишь над тремя точками, которые после преобразования Мёбиуса могут считаться точками ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$. Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью детских рисунков. При этом функции Белого и детские рисунки встречаются в работах Феликса Клейна 1879 года[1], где применены для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с группой монодромии PSL(2,11)[2].

Теорема Белого является теоремой существования функций Белого и активно используется в исследованиях по обратной задаче Галуа.