Клейн, Феликс

Феликс Клейн родился 25 апреля 1849 года в Дюссельдорфе[13]. Родился в прусской семье; его отец, Каспар Клейн (1809—1889), был секретарем прусского чиновника в Рейнской провинции, мать Клейна была Софи Элиз Клейн (1819—1890, урождённая Кайсер)[14].

Окончил гимназию в Дюссельдорфе, потом учился математике и физике в Боннском университете[15]. Вначале планировал стать физиком. В это время Юлиус Плюккер заведовал отделением математики и экспериментальной физики в Бонне, и Клейн стал его ассистентом. Однако главным интересом Плюккера была геометрия. Под его руководством Клейн стал доктором в 1868 году.

В 1868 году Плюккер умер. Клейн совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками. Особенное влияние на него оказал Софус Ли.

1870 год: в самое неудачное время (назревает франко-прусская война) вместе с Ли приезжает в Париж, где знакомится с Дарбу и Жорданом. После начала войны возвращается в Германию, где чуть не становится жертвой спутника войны — эпидемии тифа.

С 1872 года Клейн — профессор Эрлангенского университета[16], по рекомендации Клебша. Публикует знаменитую «Эрлангенскую программу» и вскоре приобретает общеевропейскую известность.

С 1875 года — профессор Высшей технической школы в Мюнхене. Женился на Анне Гегель, внучке знаменитого философа Гегеля[17].

В 1876 году, совместно с Адольфом Мейером, становится главным редактором журнала «Mathematische Annalen». В 1880 году переходит в Лейпцигский университет.

1882—1884: серьёзная болезнь по причине переутомления[18]. Клейн переориентирует свою гигантскую энергию на педагогическую и общественную работу.

С 1888 года — профессор Гёттингенского университета. Ведёт яркие, глубокие и содержательные факультативные курсы по самым разнообразным предметам, от теории чисел до технической механики. Слушатели его курсов приезжали со всех концов мира.

В 1893 году в Чикаго Клейн был основным докладчиком на Международном математическом конгрессе, проходившем в рамках Всемирной Колумбовой выставки[19]. Отчасти благодаря усилиям Клейна в 1893 году Гёттингенский университет начал принимать женщин. Он был научным руководителем первой работы Ph.D. по математике, написанной женщиной в Гёттингенском университете; это была Грейс Чисхолм Янг, английская ученица Артура Кэли, которой восхищался Клейн. В 1897 году Клейн стал иностранным членом Королевской нидерландской Академии искусств и наук[20].

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования, он был автором и инициатором ряда исследований состояния дел с преподаванием математики в разных странах.

Клейн способствовал созданию при Гёттингенском университете системы научно-исследовательских институтов для прикладных исследований в самых разных технических областях. Участвовал в издании полного собрания сочинений Гаусса и первой в мире Математической энциклопедии. Представлял Гёттингенский университет в парламенте. Надо отметить, что с началом Первой мировой войны Клейн не участвовал в многочисленных тогда шовинистических акциях.

В 1924 году научная общественность и пресса широко отметила 75-летие Клейна. В следующем году те же газеты опубликовали его некролог. Феликс Клейн умер в Гёттингене в 1925 году, похоронен на Гёттингенском городском кладбище.

Феликс Клейн

К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.

Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях. Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (кстати, Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Пример: медиана есть аффинный инвариант; если в равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке, то и в любом другом это будет верно, потому что любой треугольник можно аффинным преобразованием перевести в равносторонний и обратно.

Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований» (Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen) [21], получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление о предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить результаты, для старых методов крайне затруднительные или вовсе недостижимые. Влияние «Эрлангенской программы» на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико.

Бутылка Клейна

В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского; для этого он исследовал её интерпретацию в евклидовом пространстве, построенную до него Бельтрами (см. Проективная модель). Он дал в 1882 году пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна».

Могила Клейна и его супруги Анны, Гёттинген.

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Его труды печатались главным образом в «Mathematische Annalen», редактором которых был он с 1875 года (вместе с Адольфом Майером). Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.

Лекции Клейна пользовались большой популярностью, многие из них были неоднократно переизданы и переведены на множество языков. Он также опубликовал несколько монографий по анализу, сводящих воедино достигнутые на тот момент результаты.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его собрания сочинений.

Европейское математическое общество и Технологический университет Кайзерслаутерна учредили в 2000 году приз имени Феликса Клейна (Felix Klein Prize). Приз присуждается молодым математикам Европы в ходе Европейского математического конгресса (каждые 4 года) за практически полезные работы в области прикладной математики.

Международная комиссия по математическому образованию (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI) учредила медаль Феликса Клейна[22].

Именем Феликса Клейна названы:

• Математический центр в Германии (Felix-Klein-Zentrum für Mathematik)[23].
• «Энциклопедия Клейна» — первая в мире математическая энциклопедия, подготовленная Клейном.
• Ряд научных терминов:
  • Бутылка Клейна
  • Графы Клейна
  • Квартика Клейна
  • Клейнова группа
  • Кольцо Клейна
  • Конфигурация Клейна
  • Метрика Кэли — Клейна
  • Многогранник Клейна
  • Модель Бельтрами — Клейна
  • Четверная группа Клейна

• Боголюбов А. Н. Клейн Феликс // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — 639 с.
• Выгодский М. Я. Феликс Клейн и его историческая работа. См. в книге: Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том I. М.-Л., ГОНТИ, 1937, 432 с.
• Гиндикин С. Феликс Клейн. «Квант», 1975, № 12.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.

• Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.
• Том 2. Геометрия. Теория аналитических функций. 1981.

• Феликс Клейн на Math.ru.
• Яглом И. М. Феликс Клейн и Софус Ли. — М.: Знание, 1977.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Клейн, Феликс (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• Klein’s Web Pages.