Аффинное преобразование

Примерами аффинных преобразований являются

• движения;
• растяжения;
• преобразования подобия.

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${\displaystyle {n}\geqslant 2}$, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v}$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[3]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[4].

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно представить как аффинные преобразования пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление
• Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения. М.: МФТИ, 2016. 69 с.