Базис

Обозначение векторов базиса может быть в принципе произвольным. Часто используют какую-нибудь букву с индексом (числовым или совпадающим с названием координатной оси), например:

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}}$

или

${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y}}$

— типичные обозначения базиса двумерного пространства (плоскости),

Декартовы координаты в трёхмерном пространстве (левая (на рисунке слева) и правая (справа) декартовы системы координат (левый и правый базисы). Базисом, соответствующим такой системе координат, является тройка векторов, каждый из которых направлен вдоль какой-то из осей (три базисных вектора изображаются исходящими из общего начала).

${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}}$

или

${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}$

— трёхмерного пространства. Для трёхмерного пространства часто по традиции используется и обозначение

${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}.}$

Представление какого-то конкретного (любого) вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ пространства в виде линейной комбинации векторов базиса (суммы базисных векторов числовыми коэффициентами), например

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

или

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+a_{3}{\vec {e}}_{3}}$

или, употребляя знак суммы ${\displaystyle \Sigma }$:

${\displaystyle {\vec {a}}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}{\vec {e}}_{i}}$

называется разложением этого вектора по этому базису.

Числовые коэффициенты ${\displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})}$ называются коэффициентами разложения, а их набор в целом — представлением (или представителем) вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$ в базисе ${\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}.}$ (Разложение вектора по конкретному базису единственно; разложение одного и того же вектора по разным базисам — разное, то есть получается разный набор конкретных чисел, однако в результате при суммировании — как показано выше — дают один и тот же вектор).

Базис Га́меля — множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации (полнота базиса), и такое представление для любого вектора единственно.

Критерием единственности решения задачи разложения вектора по полной системе векторов является линейная независимость векторов, входящих в полную систему. Линейная независимость означает, что всякая линейная комбинация векторов системы, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой, имеет ненулевую сумму. То есть это эквивалентно единственности разложения нулевого вектора.

В случае линейных пространств, когда всякий ненулевой коэффициент обратим, линейная независимость эквивалентна невозможности выразить какой-либо вектор полной системы линейной комбинацией остальных векторов. (В более общей ситуации — модулей над кольцами — эти два свойства неэквивалентны). Невозможность выразить никакой вектор базиса через остальные означает минимальность базиса как полной системы векторов — при удалении любого из них теряется полнота.

В вопросе о существовании базисов основной является следующая лемма (доказательство этой леммы в общем случае неконструктивно и использует аксиому выбора):

Лемма. Пусть ${\displaystyle S_{1}}$ — полная, а ${\displaystyle S_{2}}$ — линейно независимая система векторов. Тогда система ${\displaystyle S_{1}}$ содержит набор векторов, дополняющий ${\displaystyle S_{2}}$ до базиса пространства ${\displaystyle V}$.

Следствием этой леммы являются утверждения:

1. Каждое линейное пространство обладает базисом.
2. Базис пространства можно выделить из любой полной системы векторов.
3. Всякую линейно независимую систему можно дополнить до базиса пространства V.

Любые два базиса в линейном пространстве равномощны, так что мощность базиса — величина, независящая от выбора базисных векторов. Она называется размерностью пространства (обозначается ${\displaystyle \dim V}$). Если линейное пространство имеет конечный базис, его размерность конечна и оно называется конечномерным, в противном случае его размерность бесконечна, и пространство называется бесконечномерным.

Выбранный базис линейного пространства позволяет ввести координатное представление векторов, чем подготавливается использование аналитических методов.

Линейное отображение из одного линейного пространства в другое однозначно определено, если задано на векторах какого-нибудь базиса. Комбинация этого факта с возможностью координатного представления векторов предопределяет применение матриц для изучения линейных отображений векторных пространств (в первую очередь — конечномерных). При этом многие факты из теории матриц получают наглядное представление и приобретают весьма содержательный смысл, когда они выражены на языке линейных пространств. И выбор базиса при этом служит хоть и вспомогательным, но в то же время ключевым средством.

• Векторы ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: ${\displaystyle \det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0}$.
• В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: ${\displaystyle 1,x,x^{2},\dots ,x^{n},\dots }$.
• Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

Базис Гамеля может быть использован для построения разрывной вещественной функции, удовлетворяющей условию ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$. Пусть ${\displaystyle \{r_{\alpha }\}}$ — базис Гамеля множества действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ над полем рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Тогда для каждого ${\displaystyle x=k_{\alpha _{1}}r_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}r_{\alpha _{n}}}$ (${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Q} }$) положим ${\displaystyle f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}}$, где ${\displaystyle f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})}$ произвольные вещественные числа, например, рациональные (в этом случае функция ${\displaystyle f(x)}$ принимает лишь рациональные значения и тем самым гарантированно не является линейной функцией ${\displaystyle f(x)=(c\cdot x)}$). Такая функция ${\displaystyle f(x)}$ аддитивна, то есть удовлетворяет функциональному уравнению Коши ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$. Однако в общем случае, когда ${\displaystyle f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}}$, она отличается от линейной функции ${\displaystyle f(x)=c\cdot x}$ и в силу этого является разрывной в любой точке, а также не сохраняет знак, не ограничена ни сверху, ни снизу, не монотонна, не интегрируема и не измерима на любом сколь угодно малом интервале, заполняя своими значениями на этом интервале всюдо плотно числовую ось ${\displaystyle \left(-\infty ,+\infty \right)}$.

Система векторов ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ топологического векторного пространства ${\displaystyle L}$ называется базисом Шаудера (в честь Шаудера), если каждый элемент ${\displaystyle f\in L}$ разлагается в единственный, сходящийся к ${\displaystyle f}$ ряд по ${\displaystyle \{e_{n}\}}$:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}e_{i},}$

где ${\displaystyle f_{i}}$ — числа, называемые коэффициентами разложения вектора ${\displaystyle f}$ по базису ${\displaystyle \{e_{n}\}}$.

Чтобы подчеркнуть отличие определения базиса Гамеля для общих линейных пространств (допускаются только конечные суммы) от базиса Шаудера для топологических векторных пространств (допускается разложение в сходящийся ряд), для первого часто используют термин линейный базис, оставляя термин базис для разложений в ряды. Мощность линейного базиса называют также линейной размерностью. В конечномерных пространствах эти определения совпадают из-за конечности базиса. В бесконечномерных пространствах эти определения существенно различаются и линейная размерность может быть строго больше мощности базиса Шаудера.

Например, никакое бесконечномерное Гильбертово пространство не имеет счетного линейного базиса, хотя может иметь счетные базисы Шаудера с разложением в ряд, в том числе, ортонормированные базисы. Все ортонормированные базисы Гильбертовых пространств являются базисами Шаудера, например, множество функций ${\displaystyle \{1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\pi nx)\mid n=1,2,\dots \}}$ является базисом Шаудера в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$. В более общих банаховых пространствах понятие ортонормированного базиса неприменимо, но часто удаётся построить базисы Шаудера, не использующие ортогональности.

${\displaystyle C[a,b]}$ — банахово пространство с нормой ${\displaystyle \|f\|=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|}$. Для разложений в ряды Фурье и обобщенные ряды Фурье по ортонормированным системам функций легко доказывается сходимость в Гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$, но не в ${\displaystyle C[a,b]}$. Шаудер сконструировал базис Шаудера ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ для ${\displaystyle C[a,b]}$. Пусть ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n},\dots \}}$ — плотное счетное множество точек на ${\displaystyle [a,b]}$, ${\displaystyle x_{0}=a}$, ${\displaystyle x_{1}=b}$, остальные точки могут быть, например, всеми рациональными точками отрезка ${\displaystyle [a,b]}$, упорядоченными произвольным образом. Положим: ${\displaystyle e_{0}=1}$, ${\displaystyle e_{1}=(x-a)/(b-a)}$ — линейная функция. Определим кусочно-линейную функцию ${\displaystyle e_{n}(x)}$ так, чтобы ${\displaystyle e_{n}(x_{i})=0}$ при ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ и ${\displaystyle e_{n}(x_{n})=1}$. Точки ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}}$ разбивают ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle n-1}$ отрезок. Точка ${\displaystyle x_{n}}$ лежит строго внутри одного из них. Пусть это ${\displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}]}$ для каких-то ${\displaystyle j,k\in \{0,\dots ,n-1\}}$ (порядок нумерации чисел ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ не соответствует их величине).

Разложение непрерывной функции по базису Шаудера. Показано построение ${\displaystyle L_{5}(x)}$. Красным цветом на графике выделен участок, на котором ${\displaystyle L_{5}}$ отличается от ${\displaystyle L_{4}}$ (синяя ломаная).

Положим:

${\displaystyle e_{n}(x)=0}$ вне отрезка ${\displaystyle I_{n}=[x_{j},x_{k}],}$

${\displaystyle e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}}$ при ${\displaystyle x\in [x_{j},x_{n}],}$

${\displaystyle e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}}$ при ${\displaystyle x\in [x_{n},x_{k}].}$

Полученная система кусочно-линейных «шапочек» и есть искомый базис Шаудера. Коэффициенты разложения произвольной функции ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]}$ по этому базису выражаются по явным рекуррентным формулам через последовательность значений ${\displaystyle f(x_{i})}$. Частичная сумма первых ${\displaystyle n+1}$ членов ряда

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}f_{i}e_{i}(x),}$

является в данном случае кусочно-линейной аппроксимацией ${\displaystyle f(x)}$ с узлами в точках ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$; формула для коэффициентов ${\displaystyle f_{n}=f(x_{n})-L_{n-1}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)}$ (см. Рис.)

Базисы Шаудера построены для большинства известных примеров банаховых пространств, однако проблема Банаха — Шаудера о существовании базиса Шаудера в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 году была решена отрицательно: существуют сепарабельные банаховы пространства без базиса Шаудера (контрпримеры Энфло[1], Шанковского, Дэви и Фигеля).