Матрица (математика)

Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}$.

Эта система состоит из ${\displaystyle m}$ линейных уравнений относительно ${\displaystyle n}$ неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

${\displaystyle Ax=b}$,

где

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}};\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

Матрица ${\displaystyle A}$ — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец ${\displaystyle x}$ — вектор неизвестных, а вектор-столбец ${\displaystyle b}$ — некоторый заданный вектор.

Для того, чтобы система имела решение (хотя бы одно), необходимо и достаточно, чтобы вектор ${\displaystyle b}$ был линейной комбинацией столбцов ${\displaystyle A}$, и тогда вектор ${\displaystyle x}$ — это вектор, содержащий коэффициенты разложения вектора ${\displaystyle b}$ по столбцам матрицы${\displaystyle A}$.

На языке матриц условие разрешимости системы линейных уравнений формулируется в виде теоремы Кронекера-Капелли:

ранг матрицы ${\displaystyle A}$ равен рангу расширенной матрицы ${\displaystyle [A|b]}$,

составленной из столбцов ${\displaystyle A}$ и столбца ${\displaystyle b}$.

Важный частный случай. Если количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (${\displaystyle m=n}$, т.е. матрица ${\displaystyle A}$ - квадратная), то условие однозначной разрешимости является равносильным условию обратимости матрицы ${\displaystyle A}$.

(Замечание. Разрешимость системы ещё не влечёт невырожденности матрицы. Пример: ${\displaystyle 0x=0}$.)

В частности, если матрица ${\displaystyle A}$ является обратимой, то решение системы может быть записано (а если вычислена ${\displaystyle A^{-1}}$, то и найдено) в виде

${\displaystyle x=A^{-1}b}$.

Этот приводит к алгоритму вычисления значений неизвестных по правилу Крамера.

Рассмотрим линейное преобразование ${\displaystyle {\mathcal {A}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, действующее из ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в ${\displaystyle m}$-мерное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$, имеющее следующий вид:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}y_{1}&=&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\\y_{2}&=&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}\\&\cdots &\\y_{m}&=&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}\\\end{array}}\right.}$.

В матричной форме это преобразование уравнения вида:

${\displaystyle y=Ax}$.

Матрица ${\displaystyle A}$ — это матрица коэффициентов линейного преобразования.

Если рассмотреть действие линейного преобразования ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на векторы вида

${\displaystyle e_{j}=(0,\dots ,0,1_{j},0,\dots ,0)^{T},\quad j={\overline {1,n}}}$,

составляющие базис пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то ${\displaystyle {\mathcal {A}}\mathbf {e} _{j}}$ — это есть j-ый столбец матрицы ${\displaystyle A}$.

Таким образом, матрица ${\displaystyle A}$ полностью описывает линейное преобразование ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, и, поэтому, называется матрицей линейного преобразования.

Пусть есть два конечных множества:

• номера строк: ${\displaystyle M=\{1,2,\dots ,m\}}$;

• номера столбцов: ${\displaystyle N=\{1,2,\dots ,n\}}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — натуральные числа.

Назовём матрицей ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ (читается ${\displaystyle m}$ на ${\displaystyle n}$) (${\displaystyle m}$ - строк, ${\displaystyle n}$ - столбцов) с элементами из некоторого кольца или поля ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ отображение вида ${\displaystyle A\colon M\times N\to {\mathcal {K}}}$. Матрица записывается как

${\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}$

где элемент матрицы ${\displaystyle a_{ij}=a(i,j)}$ находится на пересечении ${\displaystyle i}$-й строки и ${\displaystyle j}$-го столбца.

• ${\displaystyle i}$-я строка матрицы ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\end{pmatrix}};}$
• ${\displaystyle j}$-й столбец матрицы ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}.}$

При этом количество элементов матрицы равно ${\displaystyle m\cdot n}$.

В соответствии с этим

• каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в ${\displaystyle n}$-мерном координатном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$;
• каждый столбец матрицы — как вектор в ${\displaystyle m}$-мерном координатном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{m}}$.

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{mn}}$, имеющем размерность ${\displaystyle mn}$. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк ${\displaystyle m}$ совпадает с количеством столбцов ${\displaystyle n}$, то такая матрица называется квадратной, а число ${\displaystyle m=n}$ называется размером квадратной матрицы или её порядком.

Матрицы размера ${\displaystyle m\times 1}$ и ${\displaystyle 1\times n}$ являются элементами пространств ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{m}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$ соответственно:

• матрица размера ${\displaystyle m\times 1}$ называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

${\displaystyle \mathrm {colon} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\\vdots \\a_{i}\\\vdots \\a_{m}\end{array}}\right)=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{m})^{T};}$

• матрица размера ${\displaystyle 1\times n}$ называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

${\displaystyle \mathrm {row} \,(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n})=(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n});}$

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на число отличное от нуля,
2. Прибавление одной строки к другой строке,
3. Перестановка местами двух строк.

Элементарные преобразования столбцов матрицы определяются аналогично.

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

• столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ составляют элементы пространства размерности ${\displaystyle m}$;
• строки матрицы ${\displaystyle A}$ составляют элементы пространства размерности ${\displaystyle n}$.

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Для каждой матрицы ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}$ размера ${\displaystyle m\times n}$

можно построить матрицу ${\displaystyle B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}}$ размера ${\displaystyle n\times m}$,

у которой ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j}}$ для всех ${\displaystyle i={\overline {1,m}}}$ и ${\displaystyle j={\overline {1,n}}}$.

Такая матрица называется транспонированной матрицей для ${\displaystyle A}$ и обозначается ${\displaystyle A^{T}}$,

иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается ${\displaystyle A'}$,

иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается ${\displaystyle A^{*}}$.

При транспонировании строки (столбцы) матрицы ${\displaystyle A}$ становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы ${\displaystyle A^{T}}$.

Очевидно, ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$.

Для матриц над кольцом ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ транспонирование является изоморфизмом ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ - модулей матриц, поскольку

${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$,

${\displaystyle (\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})}$, для любых ${\displaystyle \lambda \in {\mathcal {K}}}$.

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые ${\displaystyle (i\neq j:a_{ij}=0)}$, иногда записывается как:

${\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}$

Кроме главной диагонали иногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуют наддиагональ матрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуют поддиагональ матрицы (см. Бидиагональная матрица).

Элементы, расположенные на местах ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1}}$ образуют побочную диагональ (см., например, Побочная диагональ или Виды матриц).

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

${\displaystyle \mathrm {diag} (1,1,\dots ,1).}$

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера ${\displaystyle \delta _{ij}}$, определяемый как:

${\displaystyle \delta _{ii}=1}$

${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ при ${\displaystyle i\neq j.}$

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например ${\displaystyle \Theta }$.

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц ${\displaystyle A+B}$ есть операция нахождения матрицы ${\displaystyle C}$, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, то есть каждый элемент матрицы ${\displaystyle C}$ равен

${\displaystyle \ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}}$

Свойства сложения матриц:

• коммутативность: A+B = B+A;
• ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
• сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;
• существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Впрочем, прежде всего во избежание терминологической путаницы, матрицы в обычных контекстах избегают без необходимости (которой нет в наиболее обычных стандартных применениях) и четкого уточнения употребления термина называть векторами.

Умножение матрицы ${\displaystyle A}$ на число ${\displaystyle \lambda \in {\mathcal {K}}}$ заключается в построении матрицы ${\displaystyle \lambda A=(\lambda a_{ij})}$.

Свойства умножения матриц на число:

• умножение на единицу: 1A = A;
• ассоциативность: (λβ)A = λ(βA);
• дистрибутивность: (λ+β)A = λA + βA;
• дистрибутивность: λ(A+B) = λA + λB;

Умножение матриц (обозначение: ${\displaystyle AB}$, реже со знаком умножения ${\displaystyle A\times B}$) — есть операция вычисления матрицы ${\displaystyle C}$, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}}$

Количество столбцов в матрице ${\displaystyle A}$ должно совпадать с количеством строк в матрице ${\displaystyle B}$, иными словами, матрица ${\displaystyle A}$ обязана быть согласованной с матрицей ${\displaystyle B}$. Если матрица ${\displaystyle A}$ имеет размерность ${\displaystyle m\times n}$, ${\displaystyle B}$ — ${\displaystyle n\times k}$, то размерность их произведения ${\displaystyle AB=C}$ есть ${\displaystyle m\times k}$.

Свойства умножения матриц:

• ассоциативность: (AB)C = A(BC);
• некоммутативность (в общем случае): AB ${\displaystyle \neq }$ BA;
• произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;
• дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
• ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

По обычным правилам матричного умножения вектор-столбец умножается на матрицу, которая записывается слева от него, а вектор-строка умножается на матрицу, которая записывается справа от неё. Поскольку элементы вектора-столбца или вектора-строки можно записать (что обычно и делается), используя один, а не два индекса, это умножение можно записать так:

для вектора-столбца v (получая новый вектор-столбец Av):

${\displaystyle (Av)_{i}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}v_{k},}$

для вектора-строки s (получая новый вектор-строку sA):

${\displaystyle (sA)_{i}=\sum _{k=1}^{n}s_{k}a_{ki}.}$

Вектор-строка, матрица и вектор-столбец могут быть умножены друг на друга, давая число (скаляр):

${\displaystyle sAv=\sum \limits _{k,i}s_{k}a_{ki}v_{i}.}$

(Порядок важен: вектор-строка слева, вектор-столбец справа от матрицы).

Эти операции являются основой матричного представления линейных операторов и линейных преобразований координат (смены базисов), таких, как повороты, масштабирования, зеркальные отражения, а также (последнее) матричного представления билинейных (квадратичных) форм.

• При представлении вектора вещественного векторного пространства в ортонормированном базисе (что эквивалентно использованию прямоугольных декартовых координат) соответствующие ему вектор-столбец и вектор-строка, представляющие собой набор компонент вектора, будут совпадать (поэлементно), отличаясь лишь формально своим изображением для корректности матричных операций (то есть один получается из другого просто операцией транспонирования). При использовании же неортонормированных базисов (например, косоугольных координат или хотя бы разных масштабов по осям) вектор-столбец соответствует компонентам вектора в основном базисе, а вектор-строка — в базисе, дуальном основному[5] (Иногда о пространстве векторов-строк говорят также как об особом, дуальном пространству векторов-столбцов, пространстве ковекторов).

Заметим, что обычной мотивировкой введения матриц и определения операции матричного умножения (см.тж.в статье об умножении матриц) является именно введение их, начиная с умножения вектора на матрицу (которое вводится исходя из преобразований базиса или вообще линейных операций над векторами), а уже затем композиции преобразований сопоставляется произведение матриц. Действительно, если новый вектор Av, полученный из исходного вектора v преобразованием, представимым умножением на матрицу A, преобразовать теперь ещё раз, преобразованием, представимым умножением на матрицу B, получив B(Av), то, исходя из правила умножения вектора на матрицу, приведенного в начале этого параграфа (используя ассоциативность умножения чисел и меняя порядок суммирования), нетрудно увидеть в результате формулу, дающую элементы матрицы (BA), представляющую композицию первого и второго преобразований и совпадающую с обычным определением матричного умножения.

Если элементами матрицы ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна ${\displaystyle {\bar {A}}=({\bar {a}}_{i,j})}$. Здесь ${\displaystyle {\bar {a}}}$ — число, комплексно сопряжённое к ${\displaystyle a}$.

Транспонирование уже обсуждалось выше: если ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, то ${\displaystyle A^{T}=(a_{ji})}$. Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: ${\displaystyle A^{*}={\bar {A}}^{T}}$. С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

Для квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ сумма диагональных элементов (т.е. главных миноров первого порядка) называется следом:

${\displaystyle \mathrm {Tr} A=\sum \limits _{i}a_{ii}=a_{11}+\ldots +a_{nn}}$

(другие обозначения ${\displaystyle \mathrm {Trace} }$, ${\displaystyle \mathrm {Sp} }$, ${\displaystyle \mathrm {Spur} }$).

Свойства:

1. Если определены ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$, то ${\displaystyle \mathrm {Tr} (AB)=\mathrm {Tr} (BA)}$.
2. След является инвариантом преобразований подобия матрицы, т.е. если ${\displaystyle S}$ невырождена, то ${\displaystyle \mathrm {Tr} A=\mathrm {Tr} (S^{-1}AS)}$.
3. След равен сумме (всех, с учётом кратности) собственных значений матрицы: ${\displaystyle \mathrm {Tr} A=\sum \limits _{i}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}$. Более того, для любого целого (положительного) числа ${\displaystyle k}$ выполняется ${\displaystyle \mathrm {Tr} (A^{k})=\sum \limits _{i}\lambda _{i}^{k}=\lambda _{1}^{k}+\ldots +\lambda _{n}^{k}}$.

Пусть матрица ${\displaystyle A}$ - квадратная, тогда обозначение определителя: ${\displaystyle \Delta =\det A}$. Если матрица ${\displaystyle 2\times 2}$, то ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ называется вектор

${\displaystyle \mathbf {x} =a_{1}\mathbf {x} _{1}+\dots +a_{n}\mathbf {x} _{n},}$

где ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ — коэффициенты разложения:

• если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
• если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение ${\displaystyle C=AB}$ матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ терминах линейных комбинаций:

• столбцы матрицы ${\displaystyle C}$ — это линейные комбинации столбцов матрицы ${\displaystyle A}$ с коэффициентами, взятыми из матрицы ${\displaystyle B}$;
• строки матрицы ${\displaystyle C}$ — это линейные комбинации строк матрицы ${\displaystyle B}$ с коэффициентами, взятыми из матрицы ${\displaystyle A}$.

Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации.

Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или

${\displaystyle \mathbf {0} =a_{1}\mathbf {x_{1}} +\dots +a_{n}\mathbf {x_{n}} ,}$

где не все числа ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы.

Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:

• если строки матрицы ${\displaystyle C}$ линейно зависят от строк матрицы ${\displaystyle B}$, то ${\displaystyle C=AB}$ для некоторой матрицы ${\displaystyle A}$;
• если столбцы матрицы ${\displaystyle C}$ линейно зависят от столбцов другой матрицы ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle C=AB}$ для некоторой матрицы ${\displaystyle B}$.

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица ${\displaystyle \Theta }$ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

${\displaystyle A+\Theta =A}$

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

• Ассоциативность сложения: ${\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C.}$
• Коммутативность сложения: ${\displaystyle A+B=B+A.}$
• Ассоциативность умножения: ${\displaystyle A(BC)=(AB)C.}$
• Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: ${\displaystyle AB\neq BA}$. Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

  ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC;}$

  ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA.}$

• С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
• Свойства операции транспонирования матриц:

  ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$

  ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

  ${\displaystyle (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}}$, если обратная матрица ${\displaystyle A^{-1}}$ существует.

  ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

  ${\displaystyle {\text{det}}\;A={\text{det}}\;A^{T}}$