Дистрибутивность

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон[1] — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Одна из операций предполагается ассоциативной, другая — коммутативной.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»[2], если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

(\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)

— дистрибутивность слева;

(\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)

— дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Мультипликативные операции в кольцах и полях относительно соответствующих аддитивных по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности^{[уточнить]}, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

-(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y

Аналогично,

-(x-y)=-x+y;

-(x+y+z)=-x-y-z;

-(x+y-z)=-x-y+z;

-(x-y+z)=-x+y-z;

-(x-y-z)=-x+y+z

Например,

-(2-6+17)=-2+6-17=-13

Примечания

Так это свойство называется в учебниках для младших классов
Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Так это свойство называется в учебниках для младших классов

[2] Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.