Множество

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов[3][4][5].

С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых)[6]. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством», и назвал эти объекты элементами множества. Множество всех объектов, обладающих свойством ${\displaystyle A(x)}$ (то есть утверждением, истинность которого зависит от значения переменной x), он обозначил ${\displaystyle \{x\mid A(x)\},}$ а само свойство ${\displaystyle A(x)}$ назвал характеристическим свойством множества ${\displaystyle X.}$

Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств, а теорию (в частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической теорией множеств.

В практике, сложившейся с середины XX века, множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Однако при таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, их элементы — строчными. Если ${\displaystyle a}$ — элемент множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\in A}$ («${\displaystyle a}$ принадлежит ${\displaystyle A}$»). Если ${\displaystyle a}$ не является элементом множества ${\displaystyle A}$, то пишут ${\displaystyle a\notin A}$ («${\displaystyle a}$ не принадлежит ${\displaystyle A}$»).

Если всякий элемент множества ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$, то пишут ${\displaystyle A\subset B}$ («${\displaystyle A}$ лежит в ${\displaystyle B}$, является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если ${\displaystyle X\subset Y}$, то для всякого элемента ${\displaystyle a\in Y}$ определено либо ${\displaystyle a\in X}$, либо ${\displaystyle a\not \in X}$.

Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то есть ${\displaystyle \{6,11\}=\{11,6\}}$. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено число вхождений одинаковых элементов, то есть запись ${\displaystyle A=\{11,11,6,11,6\}}$, вообще говоря, не имеет смысла, если ${\displaystyle A}$ — множество. Однако корректной будет запись множества ${\displaystyle B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}}$.

Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.

Диаграмма Эйлера для ${\displaystyle A\subset B}$

Для множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ могут быть заданы отношения:

• ${\displaystyle A}$ включено в ${\displaystyle B}$, если каждый элемент множества ${\displaystyle A}$ принадлежит также и множеству ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B}$

• ${\displaystyle A}$ включает ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B}$ включено в ${\displaystyle A}$:

  ${\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}$

• ${\displaystyle A}$ равно ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ включены друг в друга:

  ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A}$

  • Для любых множеств ${\displaystyle A=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, то ${\displaystyle B=A}$
  • Если ${\displaystyle A=B}$, ${\displaystyle B=C}$, то ${\displaystyle A=C}$.

Иногда различают строгое включение (${\displaystyle A\subset B}$) от нестрогого (${\displaystyle A\subseteq B}$), различающиеся тем, что из ${\displaystyle A\subset B\not \Rightarrow A=B}$. Однако в большинстве случаев строгость включений не расписывают, отчего встречаются записи произвольных включений знаками строгого включения.

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\cap B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\cup B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\setminus B}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle A\triangle B}$

Для наглядного представления операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Основные операции

• пересечение: (множество общих точек)

  ${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};}$

• объединение: (множество всех точек)

  ${\displaystyle A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};}$

Объединение непересекающихся ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ (${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$) так же обозначают: ${\displaystyle A+B=A\cup B;}$

• разность: (множество точек первого без второго)

  ${\displaystyle A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};}$

• симметрическая разность:

  ${\displaystyle A\bigtriangleup B\equiv A~{\dot {-}}~B=(A\cup B)\setminus (A\cap B);}$

• дополнение для ${\displaystyle A\subset B}$ (множество ${\displaystyle B}$ без ${\displaystyle A}$):

  ${\displaystyle {\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;}$

• булеан ${\displaystyle A}$ (множество всех подмножеств):

  ${\displaystyle 2^{A}=\{X:X\subset A\}.}$

Диаграмма Венна для ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }}$

Для операций над множествами также справедливы законы де Моргана:

${\displaystyle A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)}$

${\displaystyle A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)}$

Доказательство

Введём индикатор множества ${\displaystyle A}$ как ${\displaystyle I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0,\,\forall x\notin A;\end{cases}}}$
Нетрудно показать, что ${\displaystyle I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.}$
Докажем одно из утверждений, полагая второе доказательство аналогичным:
${\displaystyle A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=}$
${\displaystyle =I_{a}^{2}-I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_{c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}+I_{c}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A\backslash B)\cap (A\backslash C)}$. (использовалось ${\displaystyle I_{a}^{2}=I_{a}}$)

Декартовым произведением множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называют множество, обозначаемое ${\displaystyle (A\times B)}$, элементами которого являются всевозможные пары элементов исходных множеств; ${\displaystyle A\times B=\{\{a,b\}:a\in A,\,b\in B\}.}$

Удобно представить, что элементы декартова произведения заполняют таблицу элементов, столбцы которой описывают все элементы одного множества, а строки, соответственно, другого.

Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции, были равномощны. Обозначается ${\displaystyle |A|}$ или ${\displaystyle \sharp A}$. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения (если ${\displaystyle A\subseteq B}$, то ${\displaystyle |A|\leqslant |B|}$) и распространяющие свойства мощности булеана конечного множества: ${\displaystyle |2^{A}|=2^{|A|}}$ на случай бесконечных множеств. Само обозначение ${\displaystyle 2^{A}}$во многом мотивировано этим свойством.

Наименьшая бесконечная мощность обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$, это мощность счётного множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {N} }$). Мощность континуального множества (биективного ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$) обозначаетсяя ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ или ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. Во многом определение мощности континуума строится на континуум-гипотезе — предположении об отустствии промежуточных мощностей между счётной мощностью и мощностью континуума.

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Одноэлементное множество — множество, состоящее из одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества и объекты, участвующие в рассматриваемой задаче».

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — 416 с.
• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. / Перевод с английского Ю. А. Гастева и И. Х. Шмаина под редакцией Ю. А. Шихановича. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.