Несчётное множество

Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.

Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества ${\displaystyle X}$:

• не существует инъективного отображения ${\displaystyle X}$ во множество натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$;
• ${\displaystyle X}$ не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов ${\displaystyle X}$ существует по крайней мере один элемент ${\displaystyle X}$, не входящий в неё;
  • иными словами: ${\displaystyle X}$ непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ на ${\displaystyle X}$;
• мощность ${\displaystyle X}$ не является ни конечной, ни равной ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:

• мощность ${\displaystyle X}$ строго превышает ${\displaystyle \aleph _{0}}$

— требует привлечения аксиомы выбора.

Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.