Сюръекция

Сюръе́кция, или сюръекти́вное отображе́ние (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю»), — отображение множества ${\displaystyle X}$ на множество ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\colon X\to Y)}$, при котором каждый элемент множества ${\displaystyle Y}$ является образом хотя бы одного элемента множества ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle \forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)}$; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ отображает ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle Y}$ (инъективное отображение в общем случае отображает ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$).

Сюръективная функция.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$ совпадает с ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle f(X)=Y}$. Также сюръективность функции ${\displaystyle f}$ эквивалентна существованию правого обратного отображения к ${\displaystyle f}$.

Строго говоря, понятие сюръекции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ привязано к множеству ${\displaystyle Y}$: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на ${\displaystyle Y}$». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если ${\displaystyle Z=\{y:f(x)=y\}}$, то ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — сюръекция на ${\displaystyle Z}$, поскольку формально также ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.