Образ (математика)

Образ функции — это множество всех значений, которые функция может дать.

f

— это функция из области определения

X

в кодомен

Y

. Жёлтый овал внутри

Y

— это образ функции

f

.

В более общем виде, вычисление значения заданной функции $f$ для каждого элемента заданного подмножества $A$ области определения функции даёт множество, называемое «образом $A$ для функции $f$ ». Аналогично, обратный образ (или прообраз) заданного подмножества $B$ кодомена функции $f$ — это множество всех элементов области определения, которые отображаются в элементы множества $B$ .

Образ и обратный образ могут также быть определены для общих бинарных отношений, а не только функций.

Определение

Слово «образ» используется тремя связанными способами. В этих определениях $f\colon X\to Y$ — это функция из множества $X$ в множество $Y$ .

Образ элемента

Если $x$ является элементом множества $X$ , то образ элемента $x$ для функции $f$ , обозначаемый $f(x)$ [1], — это значение функции $f$ для аргумента $x$ .

Образ подмножества

Образ подмножества $A\subseteq X$ для функции $f$ , обозначаемый $f[A]$ , является подмножеством множества $Y$ , которое может быть определено с помощью следующей формы записи[2]:

f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}

Если нет риска путаницы, $f[A]$ записывается просто как $f(A)$ . Это соглашение является общепринятым. Предполагаемый смысл должен быть определён из контекста. Это делает f[.] функцией, областью определения которой является степень множества X (множество всех подмножеств множества X), а кодоменом является степень множества Y. См. раздел § Обозначения.

Образ функции

Образ функции — это образ всей области определения, известный также как область значений функции[3].

Обобщение к бинарным отношениям

Если $R$ является произвольным бинарным отношением на X $\times$ Y, то множество $\{y\in Y\|xRy,x\in X\}$ называется образом отношения $R$ . Множество $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ называется областью определения отношения $R$ .

Обратный образ

Пусть $f$ будет функцией из $X$ в $Y$ . Прообраз или обратный образ множества $B\subseteq Y$ для функции $f$ , обозначаемый $f^{-1}[B]$ , — это подмножество $X$ определённое как:

f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.

Возможны и другие обозначения, как например: $f^{-1}(B)$ [4] и $f^{-}(B)$ .[5]

Обратный образ синглтона, обозначаемый $f^{-1}[\{y\}]$ или $f^{-1}[y]$ , называется также слоем для $y$ или множеством уровня элемента $y$ . Множество всех слоёв для элементов $Y$ — это семейство подмножеств, индексированных элементами $Y$ .

Например, для функции $f(x)=x^{2}$ обратным образом $\{4\}$ будет $\{-2,2\}$ . Снова, если нет риска путаницы, $f^{-1}[B]$ может обозначаться как $f^{-1}(B)$ , а $f^{-1}$ можно рассматривать как функцию из множества всех подмножеств (булеана) множества $Y$ в булеан множества $X$ . Обозначение $f^{-1}$ не следует путать с обратной функцией, хотя оно и согласуется с обычной обратной функцией для биекций в том, что обратный образ $B$ для $f$ является образом $B$ для $f^{-1}$ .

Обозначения для образа и обратного образа

Традиционные обозначения, использованные в предыдущих разделах, могут вызвать сложности в понимании. Альтернативой[6] является задание явных имён для образа и прообраза функций между булеанами:

Стрелочные обозначения

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ для $f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ для $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}$

Обозначения со звёздочками

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ вместо $f^{\to }$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ вместо $f^{\leftarrow }$

Другая терминология

Альтернативные обозначения $f[A]$ , использумые в математической логике и теории множеств, это $f^{\prime \prime }A$ [7][8].
Некоторые книги называют образ $f$ областью значений $f$ , но этого следует избегать, поскольку термин «область значений» используется широко также для обозначения кодомена функции $f$ .

Примеры

$f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ определена как $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ если }}x=1\\a,&{\mbox{ если }}x=2\\c,&{\mbox{ если }}x=3.\end{matrix}}\right.$
Образом множества {2, 3} для функции $f$ является $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ . Образ функции $f$ — это $\{a,c\}$ . Прообразом $a$ является $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}$ . Прообразом множества $\{a,b\}$ также является $\{1,2\}$ . Прообразом множества $\{b,d\}$ является пустое множество $\{\}$ .
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ определена как $f(x)=x^{2}$ .
Образ $\{-2,3\}$ для функции $f$ — это $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ , а образ функции $f$ — это $\mathbf {R} ^{+}$ . Прообраз $\{4,9\}$ для $f$ — это $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}$ . Прообраз множества $N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\}$ для $f$ — это пустое множество, поскольку отрицательные числа не имеют квадратных корней в множестве вещественных чисел.
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R}$ определена как $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ .
Слои $f^{-1}(\{a\})$ являются концентричными окружностями вокруг начала координат, единственная точка начала координат или пустого множества в зависимости от того, $a>0$ , $a=0$ или $a<0$ соответственно.
Если $M$ — это многообразие, а $\pi :TM\to M$ — это каноническая проекция из касательного расслоения $TM$ в $M$ , то слоями отображения $\pi$ являются касательные пространства $T_{x}(M)$ для $x\in M$ . Это также пример расслоённого пространства.
Факторгруппа — это гомоморфный образ.

Свойства

Контрпримеры


Контрпримеры на основе $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ , показывающие, что это равенство обычно не выполняется для некоторых законов:
$f(A_{1}\cap A_{2})\varsubsetneq f(A_{1})\cap f(A_{2})$
$f(f^{-1}(B_{3}))\subseteq B_{3}$
$f^{-1}(f(A_{4}))\supseteq A_{4}$

Общий случай

Для любой функции $f\colon X\to Y$ и всех подмножеств $A\subseteq X$ и $B\subseteq Y$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (равны, если $B\subseteq f(X)$ , т.е. $f$ сюръектвна)[9][10]	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (равны, если $f$ инъективна) [9][10]
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [11]	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [11]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [11]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [11]

Также:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Для нескольких функций

Для функций $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ с подмножествами $A\subseteq X$ и $C\subseteq Z$ выполняются следующие свойства:

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Несколько подмножеств домена или кодомена

Для функции $f\colon X\to Y$ и подмножеств $A_{1},A_{2}\subseteq X$ и $B_{1},B_{2}\subseteq Y$ выполняются следующие свойства:

Образ	Прообраз
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ [11][12]	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11][12] (равны, если $f$ инъективны[13])	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (равны, если $f$ инъективна[13])	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [11]
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (равны , если $f$ инъективна)	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})$

Результаты для образов и прообразов (булевой) алгебры пересечений и объединений работает для любой коллекции подмножеств, не только для пар подмножеств:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Здесь $S$ может быть бесконечным множеством, даже несчётным.)

Что касается описанной выше алгебры подмножеств, обратная отображающая функция — это гомоморфизм решётки, в то время как отображающая функция — это лишь гомоморфизм полурешёток (т.е., она не всегда сохраняет пересечения).

См. также

Биекция, инъекция и сюръекция
Образ (теория категорий)
Ядро (теория множеств)

Примечания

Compendium of Mathematical Symbols (англ.) (неопр.) ?. Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.
5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.). Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020.
Weisstein, Eric W. Image (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 августа 2020.
Comprehensive List of Algebra Symbols (англ.) (неопр.) ?. Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.
Dolecki, Mynard, 2016, с. 4-5.
Blyth, 2005, p. 5.
Rubin, 1967.
M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2
Halmos, 1960, с. 39.
Munkres, 2000, с. 19.
Lee, 2011, с. 388.
Kelley, 1985, p. [ в «Книгах Google» 85]
Munkres, 2000, с. 21.

Литература

John M. Lee. Introduction to topological manifolds. — 2nd. — New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. — Т. 202. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1.
Jean E. Rubin. Set Theory for the Mathematician. — Holden-Day, 1967. — С. xix.
Michael Artin. Algebra. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 81-203-0871-9.
T.S. Blyth. Lattices and Ordered Algebraic Structures. — Springer, 2005. — ISBN 1-85233-905-5.
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. Convergence Foundations Of Topology. — New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. — ISBN 978-981-4571-53-4.
Paul R. Halmos. Naive set theory. — van Nostrand Company, 1960. — (The University Series in Undergraduate Mathematics).
John L. Kelley. General Topology. — 2. — Birkhäuser, 1985. — Т. 27. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90125-1.
James R. Munkres. Topology. — Second ed.. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. — ISBN 978-0-13-181629-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[MV-1] Compendium of Mathematical Symbols (англ.) (неопр.) ?. Math Vault (1 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.

[LT-2] 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets (англ.). Mathematics LibreTexts (5 ноября 2019). Дата обращения: 28 августа 2020.

[MW-3] Weisstein, Eric W. Image (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 августа 2020.

[CL-4] Comprehensive List of Algebra Symbols (англ.) (неопр.) ?. Math Vault (25 марта 2020). Дата обращения: 28 августа 2020.

[_5aab59e06345c8d0-5] Dolecki, Mynard, 2016, с. 4-5.

[_81ec877c8e343a16-6] Blyth, 2005, p. 5.

[_4fe4152f8b6408f6-7] Rubin, 1967.

[RH-8] M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU, December 29, 2005, on: Semantic Scholar, p. 2

[_5cbca3898706331f-9] Halmos, 1960, с. 39.

[_10a573e6e03adbb2-10] Munkres, 2000, с. 19.

[_766bee9037caa644-11] Lee, 2011, с. 388.

[kelley-1985-12] Kelley, 1985, p. [ в «Книгах Google» 85]

[_10a574e6e03add0f-13] Munkres, 2000, с. 21.