Касательное пространство

Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие и ${\displaystyle p\in M}$. Рассмотрим класс ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ гладких кривых ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {I} \to M}$ таких, что ${\displaystyle \gamma (0)=p}$. Введём на ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ отношение эквивалентности: ${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}}$ если

${\displaystyle |\gamma _{1}(t)-\gamma _{2}(t)|=o(t),t\to 0}$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей ${\displaystyle p}$.

Элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}}$ определяются как ${\displaystyle \sim }$-классы эквивалентности ${\displaystyle \Gamma _{p}}$; то есть

${\displaystyle T_{p}=\Gamma _{p}/\sim }$.

В карте такой, что ${\displaystyle p}$ соответствует началу координат, кривые из ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ можно складывать и умножать на число следующим образом

${\displaystyle (\gamma _{1}+\gamma _{2})(t)=\gamma _{1}(t)+\gamma _{2}(t)}$

${\displaystyle (k\cdot \gamma )(t)=\gamma (k\cdot t)}$

При этом результат остаётся в ${\displaystyle \Gamma _{p}}$.

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности ${\displaystyle T_{p}=\Gamma _{p}/\sim }$. Более того, индуцированные на ${\displaystyle T_{p}}$ операции уже не зависят от выбора карты. Так на ${\displaystyle T_{p}}$ определяется структура векторного пространства.

Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p\in M}$ называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов ${\displaystyle X,}$ сопоставляющих каждой гладкой функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ число ${\displaystyle Xf,}$ и удовлетворяющих следующим двум условиям:

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$-линейность: ${\displaystyle X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\;\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ,f,h\in C^{\infty }(M)}$
• правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh),\;f,h\in C^{\infty }(M).}$

На множестве всех дифференцирований в точке ${\displaystyle p}$ возникает естественная структура линейного пространства:

• ${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$

  ${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf).}$

• В случае ${\displaystyle C^{k}}$-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство

  ${\displaystyle Xf=0}$ если ${\displaystyle f(q)=o(|p-q|)}$

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей ${\displaystyle p}$.

• В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.

• Пусть ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{p}}$. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для ${\displaystyle Xf=(f\circ \gamma )'(0)}$. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для ${\displaystyle C^{k}}$-дифференцируемых многообразий, ${\displaystyle k<\infty }$). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle C^{k}}$-дифференцируемое многообразие, ${\displaystyle C^{k}(M)}$ — кольцо дифференцируемых функций из ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Рассмотрим кольцо ${\displaystyle C_{x}^{k}}$ ростков функций в точке ${\displaystyle x\in M}$ и каноническую проекцию ${\displaystyle [-]_{x}:C^{k}(M)\to C_{x}^{k}}$. Обозначим через ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ядро гомоморфизма колец ${\displaystyle [f]_{x}\mapsto f(x)}$. Введем на ${\displaystyle C_{x}^{k}}$ структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма ${\displaystyle i:\mathbb {R} \to C_{x}^{k}}$, ${\displaystyle i(a)=[\mathrm {const} _{a}]_{x}}$ и будем далее отождествлять ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle i(\mathbb {R} )}$. Имеет место равенство ${\displaystyle C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}}$[1]. Обозначим через ${\displaystyle C_{x,0}^{k}}$ подалгебру ${\displaystyle C_{x}^{k}}$, состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке ${\displaystyle x}$ в каждой карте; обозначим ${\displaystyle C_{x,d}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$. Заметим, что ${\displaystyle C_{x,d}^{k}\subset C_{x,0}^{k}}$.

Рассмотрим два векторных пространства:

• ${\displaystyle T_{x}M:=(C_{x}^{k}/C_{x,0}^{k})^{*}}$ — это пространство имеет размерность ${\displaystyle \operatorname {dim} M}$ и совпадает с определённым ранее касательным пространством к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$,
• ${\displaystyle (C_{x}^{k}/C_{x,d}^{k})^{*}\cong ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}$ — это пространство изоморфно пространству дифференцирований ${\displaystyle C_{x}^{k}=\mathbb {R} \oplus {\mathfrak {m}}_{x}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} \subset C_{x}^{k}}$, его называют алгебраическим касательным пространством[2] ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$.

Если ${\displaystyle k<\infty }$, то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$ имеет размерность континуум, а ${\displaystyle ({\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2})^{*}}$ содержит ${\displaystyle T_{x}M}$ как нетривиальное подпространство; в случае ${\displaystyle k=\infty }$ или ${\displaystyle k=\omega }$ эти пространства совпадают (и ${\displaystyle C_{x,0}^{k}=C_{x,d}^{k}}$)[3]. В обоих случаях ${\displaystyle T_{x}M}$ можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований ${\displaystyle C_{x}^{k}}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, для вектора ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ формула ${\displaystyle X(f)=X([f]_{x})}$ задаёт инъективный гомоморфизм ${\displaystyle T_{x}M}$ в пространство дифференцирований ${\displaystyle C^{k}(M)}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (структура вещественной алгебры на ${\displaystyle C^{k}(M)}$ задается аналогично ${\displaystyle C_{x}^{k}}$). При этом в случае ${\displaystyle k=\infty }$ получается в точности определение, данное выше.