Касательное расслоение

Если ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-мерное многообразие, то оно обладает атласом карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })}$, где ${\displaystyle U_{\alpha }}$ — открытое подмножество ${\displaystyle M}$ и

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

— гомеоморфизм.

Эти локальные координаты на ${\displaystyle U}$ порождают изоморфизм между ${\displaystyle T_{x}M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для любого ${\displaystyle x\in U}$. Можно определить отображение

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}}$

как

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n}).}$

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$.

Подмножество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle TM}$ открыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))}$ — открытое в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ для любого ${\displaystyle \alpha }$. Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств ${\displaystyle TM}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, поэтому они образуют карты гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$. Функции перехода на пересечениях карт ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение ${\displaystyle n}$-мерного многообразия ${\displaystyle M}$ можно определить как векторное расслоение ранга ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle M}$, функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

• Простейший пример получается для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.
• Единичная окружность ${\displaystyle S^{1}}$. Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$. Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере ${\displaystyle S^{2},}$ это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причёсывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой ${\displaystyle R}$ и единичной окружности ${\displaystyle S^{1}}$, которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-мерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии ${\displaystyle M}$, значение которой в каждой точке — вектор, касательный к ${\displaystyle M}$, то есть гладкое отображение

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

такое, что образ ${\displaystyle x}$, обозначаемый ${\displaystyle V_{x}}$, лежит в ${\displaystyle T_{x}M}$ — касательном пространстве в точке ${\displaystyle x}$. На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на ${\displaystyle M}$ — это сечение касательного расслоения над ${\displaystyle M}$.

Множество всех векторных полей над ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \Gamma (TM)}$. Векторные поля можно складывать поточечно:

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

и умножать на гладкие функции на ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x},}$

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на ${\displaystyle M}$ (обозначается ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$).

Если ${\displaystyle f}$ есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ даёт новую гладкую функцию ${\displaystyle Xf}$. Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}$.
• Правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)}$.

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на ${\displaystyle M}$ — это локальное сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle M}$, при этом в каждой точке из ${\displaystyle U}$ задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на ${\displaystyle M}$ образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над ${\displaystyle M}$.

На каждом касательном расслоении ${\displaystyle TM}$ можно определить каноническое векторное поле. Если ${\displaystyle (x,\;y)}$ — локальные координаты на ${\displaystyle TM}$, то векторное поле имеет вид

${\displaystyle V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.}$

${\displaystyle V}$ является отображением ${\displaystyle V\colon TM\to TTM}$.

Существование такого векторного поля на ${\displaystyle TM}$ можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Распределение — подрасслоение касательного расслоения
• Кокасательное расслоение
• Метрика Сасаки — естественная метрика на касательном расслоении риманова многообразия.

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.