Гомеоморфизм

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологических пространства. Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также сама ${\displaystyle f}$ и обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ непрерывны.

• Пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в таком случае называются гомеомо́рфными, или топологи́чески эквивале́нтными.
  • Обычно это отношение обозначается ${\displaystyle X\simeq Y}$.
• Свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примеры топологических свойств: все виды отделимости в топологических пространствах, связность и несвязность, линейная связность, компактность, односвязность, метризуемость, а также локальные аналоги перечисленных свойств (локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность, локальная метризуемость), свойство быть топологическим многообразием, конечномерность, бесконечномерность и размерность топологических многообразий и др.
• Локальным гомеоморфизмом пространств называется непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$, если каждая точка ${\displaystyle x\in X}$ обладает такой окрестностью ${\displaystyle U\ni x}$, что ограничение ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle U}$ является гомеоморфизмом ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$ между ${\displaystyle U}$ и её образом ${\displaystyle f(U)}$.
  • Пример. Отображение ${\displaystyle x\to (\cos x,\sin x)}$ является локальным гомеоморфизмом между числовой прямой ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ и окружностью ${\displaystyle S^{1}}$. Однако эти пространства не гомеоморфны, например, потому, что окружность компактна, а прямая - нет.

Пусть ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Тогда ${\displaystyle f}$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ строго монотонна и непрерывна на ${\displaystyle |a,b|.}$

• Произвольный открытый интервал ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфен всей числовой прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Гомеоморфизм ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ задаётся, например, формулой

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

• Интервал ${\displaystyle (0,\;1)}$ гомеоморфен отрезку ${\displaystyle [0,\;1]}$ в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorphism, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4