Категория топологических пространств

Категория топологических пространств — категория, объекты которой — топологические пространства, а морфизмы — непрерывные отображения, основной объект изучения категорной топологии. Стандартное обозначение — ${\displaystyle \mathbf {Top} }$. Является конкретной категорией, поэтому её объекты можно понимать как множества с дополнительной структурой.

Естественный забывающий функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель: ${\displaystyle U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$. Этот функтор имеет как левый сопряжённый ${\displaystyle D\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$, снабжающий множество дискретной топологией, так и правый сопряжённый ${\displaystyle I\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$, снабжающий множество антидискретной топологией. Более того, поскольку любая функция между дискретными или антидискретными пространствами непрерывна, оба этих функтора задают полное вложение категории множеств в ${\displaystyle \mathbf {Top} }$.

Является полной и кополной, то есть в ней существуют все малые пределы и копределы. Забывающий функтор: ${\displaystyle U\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ единственным образом поднимает пределы, а также сохраняет их. Поэтому для получения пределов (копределов) в ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ достаточно снабдить нужной топологией пределы (копределы) в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$: если ${\displaystyle F}$ — диаграмма в ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ и ${\displaystyle (L,\varphi )}$ — предел диаграммы ${\displaystyle UF}$ в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$, то соответствующий предел (копредел) ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ можно получить, снабдив ${\displaystyle (L,\varphi )}$ начальной топологией (конечной топологией).

Мономорфизмы в ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ — это непрерывные инъективные отображения; эпиморфизмы — непрерывные сюръективные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. В ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ нет нулевых морфизмов, в частности эта категория не предаддитивна.

Не является декартово замкнутой, потому что не для всех её объектов существуют экспоненциалы.