Полная категория

Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры

Следующие категории биполны:
- категория множеств ${\mathcal {S}}et$ ;
- категория групп ${\mathcal {G}}rp$ ;
- категория колец ${\mathcal {R}}ing$ ;
- категория абелевых групп ${\mathcal {A}}b$ ;
- категория топологических пространств ${\mathcal {T}}op$ ;
- категория компактных хаусдорфовых пространств ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$ ;
- категория малых категорий ${\mathcal {C}}at$ ;
Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
- категория конечных множеств $f{S}et$ ;
- категория конечномерных векторных пространств над полем $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$ ;
- категория конечных групп $f{\mathcal {G}}rp$ ;
Вообще, если $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ — категория моделей некоторой алгебраической теории ${\mathcal {T}}$ , то $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ полна и кополна, так как она рефлективна в $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$ . Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
(теорема о пределе с параметром) Если категория ${\mathcal {C}}$ полна (кополна), то категория $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})$ полна (кополна) для любой категории ${\mathcal {A}}$ , причём пределы вычисляются поточечно.
Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна.
Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства

Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны:

C конечно полна,
C имеет все уравнители и конечные произведения,
C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект,
C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект.

Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.[1]

Если категория $C$ полна в малом, то для любой малой категории $A$ любой функтор $F\colon A\to C$ имеет правое расширение Кана $\mathrm {Ran} _{K}F$ по любому функтору $K\colon A\to B$ , причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Примечания

Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213

Литература

С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1.
Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories (неопр.). — John Wiley & Sons, 1990. — ISBN 0-471-60922-6.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213