Абелева категория

Предаддитивная категория является абелевой, если:

• в ней существует нулевой объект,
• существуют все бинарные произведения и копроизведения,
• существуют все ядра и коядра,
• все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Это определение эквивалентно[1] следующему определению «по частям»: предаддитивная категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

Важно, что наличие структуры абелевых групп на множествах морфизмов является следствием четырёх свойств из первого определения. Это подчёркивает фундаментальную роль категории абелевых групп в данной теории.

• Категория абелевых групп является абелевой. Категория конечнопорождённых абелевых групп также абелева, как и категория конечных абелевых групп.
• Если ${\displaystyle R}$ — кольцо, то категория левых (или правых) модулей над ${\displaystyle R}$ абелева. Согласно теореме Фрейда — Митчелла о вложении, любая абелева категория эквивалентна полной подкатегории категории модулей.
• Если ${\displaystyle R}$ — кольцо, нётеровое слева, то категория конечнопорождённых левых ${\displaystyle R}$-модулей является абелевой. В частности, категория конечнопорождённых модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева.
• Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, то категория пучков абелевых групп на ${\displaystyle X}$ абелева.

В статье Sur quelques points d’algèbre homologique[2] Гротендик предложил несколько дополнительных аксиом, которые могут выполняться в абелевой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

• AB3) Для любого множества объектов ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ существует копроизведение ${\displaystyle \oplus A_{i}}$. Данная аксиома эквивалентна кополноте абелевой категории ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$[3].
• AB4) ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ удовлетворяет аксиоме AB3) и копроизведение любого семейства мономорфизмов является мономорфизмом (то есть копроизведение является точным функтором).
• AB5) ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ удовлетворяет аксиоме AB3) и фильтрованные копределы точных последовательностей точны. Эквивалентно, для любой решётки ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ подобъектов объекта ${\displaystyle A}$ и любого ${\displaystyle B}$ — подобъекта объекта ${\displaystyle A}$ верно, что ${\displaystyle \sum (A_{i}\cap B)=\sum (A_{i})\cap B.}$

Аксиомы AB3*), AB4*) и AB5*) получаются из приведённых выше аксиом как двойственные им (то есть заменой копределов на пределы). Аксиомы AB1) и AB2) - стандартные аксиомы, которые выполняются в любой абелевой категории (более точно, абелева категория определяется как аддитивная категория, удовлетворяющая этим аксиомам):

• AB1) У любого морфизма существует ядро и коядро.
• AB2) Для любого морфизма ${\displaystyle f:A\to B}$ канонический морфизм из ${\displaystyle \mathrm {coim} f}$ в ${\displaystyle \mathrm {im} f}$ является изоморфизмом. (Здесь ${\displaystyle \mathrm {coim} f=A/\mathrm {ker} f}$).

Гротендик также формулирует более сильные аксиомы AB6) и AB6*), однако не использует их в этой работе.

Понятие абелевой категории было предложено Буксбаумом в 1955 году (он использовал название «точная категория») и Гротендиком в 1957 году. В то время существовала теория когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теория когомологий групп. Эти теории определялись различно, но имели сходные свойства. Гротендику удалось объединить эти теории; обе они могут быть определены при помощи производных функторов на абелевой категории пучков и абелевой категории модулей соответственно.

• D. A. Buchsbaum. Exact categories and duality // Transactions of the American Mathematical Society. — 1955. — Т. 80, № 1. — С. 1–34. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6. — .
• Peter Freyd. Abelian Categories. — N. Y.: Harper and Row, 1964.
• A. Grothendieck. Sur quelques points d’algèbre homologique // The Tohoku Mathematical Journal. Second Series. — 1957. — Т. 9. — С. 119–221. — ISSN 0040-8735.
• Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. — Cambridge University Press, 1994.