Точный функтор

Пусть ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — абелевы категории и ${\displaystyle F:P\to Q}$ — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

объектов ${\displaystyle P}$.

Если ${\displaystyle F}$ — ковариантный функтор, ${\displaystyle F}$ является:

• полуточным, если ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)}$ точна;
• точным слева, если ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$ точна;
• точным справа, если ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$ точна;
• точным, если ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$ точна.

Если ${\displaystyle G}$ — контравариантный функтор из ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle G}$ является:

• полуточным, если ${\displaystyle G(C)\to G(B)\to G(A)}$ точна;
• точным слева, если ${\displaystyle 0\to G(C)\to G(B)\to G(A)}$ точна;
• точным справа, если ${\displaystyle G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0}$ точна;
• точным, если ${\displaystyle 0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0}$ точна.

Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида ${\displaystyle A\to B\to C}$ в точные последовательности.

Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.

• Любая эквивалентность абелевых категорий точна.
• Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — произвольная абелева категория и ${\displaystyle A}$ — её объект, то ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)}$ — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп[1]. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ проективен. Соответственно, контравариантный функтор ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)}$ точен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ инъективен.
• Если ${\displaystyle T}$ — правый ${\displaystyle R}$-модуль, то возможно определить функтор ${\displaystyle H_{T}}$ из категории левых ${\displaystyle R}$-модулей в ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ с помощью тензорного произведения над ${\displaystyle R:H_{T}(X)=T\otimes X}$. Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle T}$ — плоский модуль.
• Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.
• Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.