Функтор Hom
В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.
Определение
Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора:
Hom(A,-) : C → Set | Hom(-,B) : C → Set |
---|---|
Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом:
|
Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом:
|
Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.
Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор
- Hom(-,-) : Cop × C → Set
где Cop — двойственная категория к C.
Внутренний функтор Hom
В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают
Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. Поскольку в замкнутой категории (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как
В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма
где — это .
Связанные определения
- Функтор вида Hom(-, C) : Cop → Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
- Функтор F : C → Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором.
- Hom(-, -) : Cop × C → Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором .
- Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, переводит пределы в пределы, а — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
- Функтор Hom — пример точного слева функтора.
См. также
Примечания
- С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.