Категория функторов

Пусть C -малая категория (её объекты и морфизмы образуют множество) и D — произвольная категория. Тогда категория функторов из C в D, обозначаемая Fun(C, D), Funct(C,D) или D^C, определяется следующим образом: объекты — ковариантные функторы из C в D, морфизмы — естественные преобразования между этими функторами. Поскольку композиция естественных преобразований естественна (см. Естественное преобразование) и тождественное преобразование естественно, D^C удовлетворяет аксиомам категории.

Аналогичным образом определяется категория контравариантных функторов из C в D, обозначаемая Funct(C^op,D).

• Если I — малая дискретная категория (все морфизмы — тождественные), то функтор из I в C — это просто семейство объектов C, индексированное I. Категории C^I в этом случае соответствует некоторая категория произведения.
• Категория стрелок ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ (объекты — морфизмы C, морфизмы — коммутативные квадраты) — это категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$, где 2 обозначает категорию из двух объектов, тождественных морфизмов, а также одного морфизма из первого объекта во второй.
• ориентированный граф представляет собой множество стрелок и множество вершин, сопоставляющих каждой стрелке вершину-начало и вершину-конец. Категория ориентированных графов представляет собой не что иное как категорию Set^C, где C — категория с двумя объектами и двумя морфизмами между ними, а Set — категория множеств.

• Если D — полная категория (или кополная), то такова и D^C;
• Если D — абелева категория, то такова и D^C;
• Если C — малая категория, то категория предпучков Set^C — топос.
• Каждый функтор F : D → E индуцирует функтор F^C : D^C → E^C (путём композиции с F). Если F и G — пара сопряженных функторов, то таковы и F^C и G^C.
• Категория D^C удовлетворяет всем свойствам экспоненциала; в частности функторы E × C → D находятся во взаимно-однозначном соответствии с функторами из E в D^C. Категория Cat малых категорий, следовательно, является декартово замкнутой.

• Tom Leinster. Higher Operads, Higher Categories (неопр.). — Cambridge University Press, 2004. Архивная копия от 6 декабря 2013 на Wayback Machine