Пучок (математика)

Основной пример даёт пучок непрерывных функций на топологическом пространстве X. Ограничение непрерывной функции на открытое подмножество есть непрерывная функция на этом подмножестве, и функция, заданная частично на открытых подмножествах, может быть восстановлена на их объединении.

Точнее, для каждого открытого подмножества ${\displaystyle U}$ пространства ${\displaystyle X}$ обозначим ${\displaystyle F(U)}$ множество всех непрерывных вещественнозначных функций ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$. Имея открытое множество ${\displaystyle V}$, содержащееся в ${\displaystyle U}$, и функцию ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle F(U)}$, мы можем сузить область определения функции ${\displaystyle f}$ до множества ${\displaystyle V}$ и получить функцию ${\displaystyle f|_{V}}$. Ограничение ${\displaystyle f|_{V}}$ есть непрерывная функция на ${\displaystyle V}$, следовательно, оно является элементом множества ${\displaystyle F(V)}$. Таким образом, определено отображение ограничения ${\displaystyle \rho _{VU}:F(U)\to F(V)}$.

Аксиома нормализации, очевидно, выполнена, так как есть только одна непрерывная функция из пустого множества в R — пустая функция. Чтобы показать, что справедлива и аксиома склейки, предположим, что задана согласованная система непрерывных функций ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle i\in I}$. Это означает, что ограничения функций ${\displaystyle f_{i}}$ и ${\displaystyle f_{j}}$ на множестве ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ должны совпадать. Определим теперь функцию ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ следующим образом: так как ${\displaystyle U}$ — объединение всех ${\displaystyle U_{i}}$, каждая точка ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle U}$ покрыта множеством ${\displaystyle U_{i}}$ для некоторого ${\displaystyle i}$. Определим значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ равным ${\displaystyle f_{i}(x)}$. Это определение корректно: если ${\displaystyle x}$ лежит также и в ${\displaystyle U_{j}}$, то по условию согласованности ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{j}(x)}$, поэтому всё равно, какой из этих функций пользоваться для определения ${\displaystyle f(x)}$. При этом функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в точке ${\displaystyle x}$, так как в её окрестности ${\displaystyle U_{i}}$ совпадает с непрерывной функцией ${\displaystyle f_{i}(x)}$. В итоге функция ${\displaystyle f}$ непрерывна в каждой точке из ${\displaystyle U}$, то есть непрерывна в ${\displaystyle U}$. Более того, ${\displaystyle f}$ — это единственная непрерывная функция, ограничение которой на области ${\displaystyle U_{i}}$ совпадает с ${\displaystyle f_{i}}$, так как функция полностью определяется своими значениями в точках. Как следствие, существует одна и только одна функция, склеенная из функций ${\displaystyle f_{i}}$, а именно ${\displaystyle f}$.

На самом деле, полученный пучок есть не просто пучок множеств. Так как непрерывные функции можно поточечно складывать и получать снова непрерывные функции, этот пучок также есть пучок абелевых групп. Так как их также можно перемножать, этот пучок есть пучок коммутативных колец. Так как непрерывные функции на множестве образуют векторное пространство над R, то этот пучок — пучок алгебр над R.

Для простоты будем работать с пространством R. Допустим, на R задано дифференциальное уравнение ${\displaystyle F(x,y,y',y'',...)=0}$ и ищутся гладкие решения, то есть гладкие функции ${\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, удовлетворяющие этому уравнению. В предыдущем примере было описано, как строится пучок непрерывных функций на R. Подобная конструкция дословно с заменой слов «непрерывная» на слова «гладкая» применима для построения пучка гладких функций на R. Обозначим этот пучок через ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle G(U)}$ — это множество гладких функций ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$. Некоторые элементы ${\displaystyle G(U)}$ являются решениями уравнения ${\displaystyle F=0}$. Оказывается, эти решения сами по себе образуют пучок.

Для каждого открытого множества ${\displaystyle U}$, пусть ${\displaystyle H(U)}$ — множество гладких функций ${\displaystyle y:U\to \mathbb {R} }$ таких, что ${\displaystyle F(x,y,y',y'',\dots )=0}$. Отображения ограничения — всё ещё сужения функций, так же, как в ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle H(\varnothing )}$ всё также состоит из пустой функции. Чтобы проверить аксиому склейки, пусть ${\displaystyle \{U_{i}\},i\in I}$ — набор открытых множеств, и ${\displaystyle U}$ — их объединение. Пусть ${\displaystyle f_{i}}$ — элементы ${\displaystyle H(U_{i})}$, согласованные на пересечениях, то есть ${\displaystyle f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$. Определим ${\displaystyle f}$ так же, как и раньше: ${\displaystyle f(x)=f_{i}(x)}$ всегда, когда ${\displaystyle f_{i}(x)}$ определено. Чтобы убедиться, что ${\displaystyle f}$ всё ещё решение дифференциального уравнения, заметим, что ${\displaystyle f}$ удовлетворяет ему в каждом из множеств ${\displaystyle U_{i}}$, так как там она совпадает с функцией ${\displaystyle f_{i}(x)}$. Следовательно, ${\displaystyle f}$ есть решение уравнения ${\displaystyle F=0}$. Чтобы проверить, что ${\displaystyle f}$ единственна, заметим, как и раньше, что ${\displaystyle f}$ определяется своими значениями в точках, и эти значения должны совпадать со значениями ${\displaystyle f_{i}(x)}$ на ${\displaystyle U_{i}}$. Итак, ${\displaystyle f}$ — единственная склейка функций ${\displaystyle \{f_{i}\}}$, поэтому ${\displaystyle H}$ есть пучок.

Заметим, что ${\displaystyle H(U)}$ содержится в ${\displaystyle G(U)}$ при любом ${\displaystyle U}$. Кроме того, если ${\displaystyle f}$ — элемент ${\displaystyle H(U)}$, а ${\displaystyle V}$ — открытое множество, содержащееся в ${\displaystyle U}$, тогда результат применения отображения ограничения на ${\displaystyle V}$ функции ${\displaystyle f}$ в пучке ${\displaystyle H}$ будет тот же, что и в пучке ${\displaystyle G}$. В таких случаях говорят, что пучок ${\displaystyle H}$ является подпучком пучка ${\displaystyle G}$.

В зависимости от дифференциального уравнения ${\displaystyle F}$ может случиться так, что при сложении двух решений этого уравнения снова получается его решение — например, если ${\displaystyle F}$ линейно. В этом случае ${\displaystyle H}$ будет пучком групп с групповой операцией, заданной поточечным сложением функций. Однако в общем случае ${\displaystyle H}$ — всего лишь пучок множеств, а не пучок групп или колец.

Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие. Векторное поле ${\displaystyle V}$ на ${\displaystyle M}$ сопоставляет каждой точке ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle M}$ вектор ${\displaystyle V(x)}$ из ${\displaystyle T_{x}M}$ — касательного пространства к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$. Требуется, чтобы ${\displaystyle V(x)}$ гладко зависело от ${\displaystyle x}$. Определим пучок ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, который будет нести информацию о векторных полях на ${\displaystyle M}$. Для каждого открытого множества ${\displaystyle U}$, рассмотрим ${\displaystyle U}$ как гладкое многообразие и пусть ${\displaystyle {\mathcal {T}}(U)}$ — множество всех (гладких) векторных полей на ${\displaystyle U}$. Другими словами, ${\displaystyle {\mathcal {T}}(U)}$ есть множество функций ${\displaystyle V}$, которые точке ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle U}$ сопоставляют вектор ${\displaystyle V(x)}$ из ${\displaystyle T_{x}U}$, гладко от неё зависящий. Поскольку ${\displaystyle U}$ открыто, ${\displaystyle T_{x}U=T_{x}M}$. Определим отображения ограничения как сужения векторных полей.

Чтобы показать, что ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ есть пучок, сначала заметим, что ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\varnothing )}$ состоит из одной только пустой функции, так как в пустом множестве нет точек. Проверим теперь аксиому склейки. Пусть ${\displaystyle \{U_{i}\}}$, ${\displaystyle i\in I}$ — набор открытых множеств, и U — их объединение. На каждом открытом множестве ${\displaystyle U_{i}}$, выберем векторное поле ${\displaystyle V_{i}}$, и предположим, что эти поля согласованы на пересечениях, то есть ${\displaystyle V_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=V_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$. Теперь определим новое векторное поле V на U следующим образом: для всякого x из U, выберем ${\displaystyle U_{i}}$, содержащее x. Определим V(x) как ${\displaystyle V_{i}(x)}$. Поскольку поля ${\displaystyle V_{i}}$ согласованы на пересечениях, V корректно определено. Более того, V(x) есть касательный вектор из ${\displaystyle T_{x}M}$, гладко зависящий от x, так как ${\displaystyle V_{i}(x)}$ гладко зависит от x и «гладкая зависимость» — локальное свойство. Наконец, V есть единственно возможная склейка полей ${\displaystyle V_{i}}$, так как V однозначно определяется своими значениями в каждой точке x, а эти значения должны совпадать со значениями поля ${\displaystyle V_{i}}$ на ${\displaystyle U_{i}}$.

Можно дать другое определение пучка ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, использующее касательное расслоение TM многообразия M. Рассмотрим естественную проекцию ${\displaystyle p:TM\to M}$, которая паре (x, v), где x точка на M , а v — вектор из ${\displaystyle T_{x}M}$, сопоставляет точку x. Векторное поле на открытом множестве U — это то же, что сечение проекции p, то есть, гладкое отображение ${\displaystyle s:U\to TM}$ такое, что ${\displaystyle p\circ s={\rm {id}}_{U}}$, где ${\displaystyle {\rm {id}}_{U}}$ — тождественное отображение на U. Другими словами, сечение s сопоставляет точке x пару (x, v) гладким образом. Отображение s не может сопоставить точке x пару (y, v) с ${\displaystyle y\neq x}$, из-за условия ${\displaystyle p\circ s={\rm {id}}_{U}}$. Это позволяет представить касательный пучок ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ как пучок сечений касательного расслоения. Другими словами, при любом U ${\displaystyle {\mathcal {T}}(U)}$ есть множество всех сечений проекции p, и отображения ограничения — обычное сужение функций. По аналогии можно построить пучок сечений любого непрерывного отображения топологических пространств.

Пучок ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — это всегда пучок групп с поточечными операциями сложения векторов. Однако, ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ обычно не есть пучок колец, так как на векторах не определена естественным образом операция умножения.

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, а C — некоторая категория. Над пространством ${\displaystyle X}$ задан предпучок ${\displaystyle F}$ со значениями в категории C, если[1]:

• Каждому открытому подмножеству ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$ сопоставлен F(U) — объект категории C.
• Каждому включению ${\displaystyle V\subset U}$ открытых множеств сопоставлен морфизм объектов категории C:

${\displaystyle \rho _{VU}\colon F(U)\to F(V)}$.

Эти морфизмы называются морфизмами ограничения. Совокупность этих морфизмов должна удовлетворять следующим условиям:

• Для любого открытого множества ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \rho _{UU}}$ — тождественный морфизм объекта ${\displaystyle F(U)}$.
• Для каждого двойного включения ${\displaystyle W\subset V\subset U}$ справедливо равенство

${\displaystyle \rho _{WV}\circ \rho _{VU}=\rho _{WU}}$

Последнее условие означает, что должно быть безразлично, ограничиваем мы данные с области ${\displaystyle U}$ на область ${\displaystyle W}$ непосредственно, или в два этапа — с предварительным ограничением на ${\displaystyle V}$, а с неё уже — на ${\displaystyle W}$.

Весьма компактным определение предпучка получается в терминах теории категорий. Сначала определяется категория O(X) открытых множеств пространства X, объектами которой являются открытые подмножества X, а множество морфизмов объекта V этой категории в объект U в случае, если V — подмножество U, состоит из единственного морфизма — отображения включения V в U, и пусто в противном случае. Тогда предпучок над пространством X со значениями в категории C — это всякий контравариантный функтор F из категории O(X) в категорию C. Такое определение предпучка допускает дальнейшее обобщение, когда рассматриваются функторы в C не обязательно из категории вида O(X) (см. предпучок (теория категорий)).

Если над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, и U — открытое подмножество X, объект F(U) называется пространством сечений предпучка F над множеством U. Если C — конкретная категория, тогда каждый элемент множества F(U) называется сечением пучка F над U, по аналогии с сечениями расслоённых пространств и этального пространства пучка (см. ниже). Сечение над X называется глобальным сечением. Ограничение ${\displaystyle \rho _{VU}(s)}$ сечения ${\displaystyle s}$ обычно обозначается как ${\displaystyle s|_{V}}$. F(U) также часто обозначается как ${\displaystyle \Gamma (U,F)}$, особенно в контексте теории когомологий пучков, в которой область U фиксируется, а пучок F — переменный.

Пучок — это предпучок, в котором выполнены 2 аксиомы[2].

• ${\displaystyle F(\varnothing )}$ — терминальный объект категории C.

Разумеется, чтобы аксиома имела смысл, нужно, чтобы категория C обладала терминальным объектом. На практике обычно это так и есть.

Однако более важная аксиома — аксиома склейки. Напомним, что в примерах, разобранных выше, эта аксиома требовала, чтобы набор данных (сечений пучка), согласованных на пересечениях их областей определения, всегда допускал (притом однозначно) их склейку — сечение над объединением открытых множеств, над которыми это сечение задано как бы частично. Для простоты сформулируем аксиому склейки в случае, когда C — конкретная категория. Общий случай смотри в статье «аксиома склейки».

Пусть ${\displaystyle U_{i}}$ — набор открытых множеств пространства X, и U — их объединение. Пусть над каждым из них задано сечение ${\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}$ (пред)пучка F. Набор этих сечений называется согласованным (англ. compatible), если для всяких i и j

${\displaystyle \rho _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}(s_{i})=\rho _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}(s_{j})}$.

Аксиома склейки для F выполнена, если

• всякий набор согласованных сечений ${\displaystyle s_{i}}$ определяет единственное сечение ${\displaystyle s\in F(U)}$, такое что ${\displaystyle s_{i}=\rho _{U_{i},U}s}$ для каждого i.

Сечение s называется склейкой (англ. gluing, concatenation, collation) сечений ${\displaystyle s_{i}}$, так как оно как бы склеено из более мелких сечений.

В примерах, данных выше, сечениям пучков соответствовали некоторые функции. В таких случаях аксиома склейки исходит из функций ${\displaystyle f_{i}}$, совпадающих на пересечениях ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$, и утверждает существование единственной функции f, одновременно продолжающей все функции ${\displaystyle f_{i}}$ на множество U, — как раз то, что было показано в тех примерах для доказательства того, что в них действительно предъявлен пучок.

Часто аксиому склейки подразделяют на две части — на аксиому существования и аксиому единственности. Предпучки, удовлетворяющие только аксиоме единственности, называются отделимыми (англ. separated) предпучками.

В этом разделе все пучки определены над пространством X и принимают значения в фиксированной категории C (когда речь пойдёт о ядре и коядре морфизмов, предполагается, что C — абелева категория).

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ — два таких пучка. Морфизм C-пучков на X ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}}$ сопоставляет каждому открытому множеству U пространства X морфизм ${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),}$ так что все эти морфизмы согласованы друг с другом и с отображениями ограничения в обоих пучках. Другими словами, для каждого открытого множества V и его открытого подмножества U имеет место коммутативная диаграмма:

Это условие согласованности означает, что каждому сечению s пучка G над открытым множеством V сопоставлено некоторое сечение ${\displaystyle \varphi _{V}(s)}$ над V пучка F, и их ограничения на открытое подмножество U множества V связаны морфизмом ${\displaystyle \varphi _{U}}$. (Ограничение на V ${\displaystyle \varphi _{U}}$-образа сечения s совпадает с ${\displaystyle \varphi _{V}}$-образом его ограничения на V.)

Простой факт, что морфизм пучков является изоморфизмом (то есть имеет обратный морфизм) в точности тогда, когда все морфизмы ${\displaystyle \varphi _{U}}$ являются изоморфизмами (обратимы). То же верно для мономорфизмов и не верно для эпиморфизмов. Это связано с тем, что ядро морфизма пучков всегда является пучком, а образ и коядро могут и не быть (но всегда будут отделимыми предпучками). Смотри статью «Когомологии пучков».

Далее пучки принимают значения в фиксированной категории C, но могут быть определены над разными пространствами.

Пусть X и Y — топологические пространства с заданными на них пучками O_X и O_Y соответственно. Морфизм пары (X, O_X) в (Y, O_Y) задаётся с помощью следующих данных:

• Непрерывное отображение f : X → Y
• семейство C-морфизмов φ_V : O_Y(V) → O_X(f ⁻¹(V)) для каждого открытого подмножества V пространства Y, которые коммутируют с отображениями ограничения. То есть, если V₁ ⊂ V₂ — два открытых подмножества Y, следующая диаграмма должна быть коммутативной (вертикальные стрелки — морфизмы ограничения на подмножество):

Это определение годится и для определения морфизма предпучков над разными пространствами.