Локальное кольцо

Кольцо R локально, если выполняется одно из следующих эквивалентных свойств:

• R имеет единственный максимальный левый идеал;
• R имеет единственный максимальный правый идеал;
• Множество необратимых элементов R замкнуто относительно сложения, и единица кольца не совпадает с нулем.

В этом случае единственный максимальный левый идеал совпадает с максимальным правым идеалом и состоит из всех необратимых элементов кольца. Обратно, если все необратимые элементы кольца образуют идеал, то этот идеал — максимальный, и других максимальных идеалов в кольце нет.

• Все тела являются локальными кольцами, поскольку единственный собственный идеал в них — нулевой идеал.
• Важный класс локальных колец — кольца дискретного нормирования. В частности, все локальные области главных идеалов являются кольцами дискретного нормирования.
• Кольцо формальных степенных рядов от любого числа переменных локально.
• Локализация любого коммутативного кольца R по простому идеалу является локальным кольцом.

Данный пример позволяет понять происхождение термина «локальный». Рассмотрим кольцо непрерывных действительнозначных функций, определённых в некоторой окрестности нуля. Введём на множестве таких функций отношение эквивалентности: две функции эквивалентны тогда и только тогда, когда их ограничения на некоторую окрестность нуля совпадают. Классы эквивалентности по этому отношению называются «ростками действительнозначных непрерывных функций в нуле», на ростках можно естественным образом ввести операции сложения и умножения, легко проверить, что ростки образуют кольцо.

Чтобы проверить, что это кольцо локально, опишем все его необратимые элементы. Очевидно, что росток функции f, такой что f(0) = 0, необратим. Обратно, если f(0) ≠ 0, то из непрерывности следует, что f(x) ≠ 0 в некоторой окрестности нуля. Возьмем функцию g(x) = 1/f(x), определенную в этой окрестности, её росток является обратным к ростку функции f, и потому росток функции f обратим. Значит, необратимыми являются только ростки функций таких, что f(0) = 0. Таким образом, сумма двух необратимых ростков необратима, следовательно, кольцо ростков локально.

В точности те же самые аргументы позволяют доказать, что росток непрерывных функций в точке произвольного топологического пространства, или гладких функций в точке гладкого многообразия, или рациональных функций в точке алгебраического многообразия являются локальными. Последний пример представляет большую важность в алгебраической геометрии. В частности, схемы, являющиеся обобщением алгебраических многообразий, определяются как локально окольцованные пространства с дополнительными свойствами.

Некоммутативные локальные кольца естественным образом появляются при изучении разложений модулей в прямую сумму. А именно, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M является неразложимым. Обратно, если M — неразложимый модуль конечной длины, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле ненулевой характеристики p и G — конечная p-группа, то групповое кольцо k[G] является локальным.

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простой идеал в нём. Множество ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}=\{a\in R:\,a\notin {\mathfrak {p}}\}}$ — образует мультипликативную систему кольца R, соответствующую простому идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Локализацией ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ кольца R по простому идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ называется кольцо частных ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}^{-1}R}$ кольца R по мультипликативной системе ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}}$. Как и в общем случае кольца частных, определён канонический гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {p}}}$ кольца R в ${\displaystyle S_{\mathfrak {p}}^{-1}R}$ по формуле ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {p}}(r)=r/1}$.

При этом все обратимые элементы в ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ имеют вид ${\displaystyle s_{1}/s_{2}}$, где оба элемента ${\displaystyle s_{1},s_{2}\in S_{\mathfrak {p}}}$, а необратимые — имеют вид r/s, ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}},\,s\in S_{\mathfrak {p}}}$ и образуют идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Поскольку этот идеал содержит все необратимые элементы кольца ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$, он — максимальный идеал, а ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ — локальное кольцо.

• Лемма Накаямы

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971
• Lam, T.Y. A first course in noncommutative rings (неопр.). — 2nd. — Springer-Verlag, 2001. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95183-0.
• Jacobson, Nathan. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.