Формальный степенной ряд

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (${\displaystyle +}$), умножения (${\displaystyle \cdot }$), формального дифференцирования (${\displaystyle '}$) и композиции (${\displaystyle \circ }$) следующим образом. Пусть

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}$

Тогда

${\displaystyle H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};}$

${\displaystyle H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};}$

${\displaystyle H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}}$ (при этом необходимо, чтобы ${\displaystyle b_{0}=0}$).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом ${\displaystyle R}$ сами образуют кольцо, обозначаемое ${\displaystyle R[[X]]}$.

В кольце ${\displaystyle R[[X]]}$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

${\displaystyle d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},}$

где ${\displaystyle k}$ — наименьшее натуральное число такое, что ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$.

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Формальный ряд

${\displaystyle F(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в ${\displaystyle R[[X]]}$ является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{0}}$ является обратимым в ${\displaystyle R}$. Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$, и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда ${\displaystyle G(X)}$ определяются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\qquad \forall n\geqslant 1.F(X)G(X)=1\end{aligned}}}$

Если же ${\displaystyle F(0)=0}$, а также ${\displaystyle F'(0)\not =0}$, то найдётся ряд ${\displaystyle G(X)}$ (аналогично ${\displaystyle H(X)}$), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что ${\displaystyle F(G(X))=X}$ (аналогично ${\displaystyle H(F(X))=X)}$).

При этом будет выполнено ${\displaystyle G(0)=0}$ (аналогично ${\displaystyle H(0)=0}$). Оставшиеся коэффициенты ряда ${\displaystyle G(X)}$ (${\displaystyle H(X)}$) можно выразить через коэффициенты ${\displaystyle F(X)}$ пошагово дифференцируя равенство ${\displaystyle F(G(X))=X}$ (аналогично ${\displaystyle H(F(X))=X)}$) и подставляя в него ${\displaystyle X=0}$.