Гладкая функция

Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости ${\displaystyle r\geqslant 0}$ имеет непрерывные производные всех порядков до ${\displaystyle r}$ включительно (производная нулевого порядка — сама функция). Такие функции называются ${\displaystyle r}$-гладкими. Множество ${\displaystyle r}$-гладких функций, определённых в области ${\displaystyle \Omega }$, обозначается ${\displaystyle C^{r}(\Omega )}$. Запись ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\Omega )}$ означает, что ${\displaystyle f\in C^{r}(\Omega )}$ для любого ${\displaystyle r}$, такие функции называют бесконечно-гладкими (иногда под гладкими функциями подразумевают именно бесконечно-гладкие). Иногда также используется запись ${\displaystyle f\in C^{\omega }(\Omega )}$ или ${\displaystyle f\in C^{a}(\Omega )}$, которая означает, что ${\displaystyle f}$ — аналитическая.

Например, ${\displaystyle C^{0}(\Omega )}$ — множество непрерывных на ${\displaystyle \Omega }$ функций, а ${\displaystyle C^{1}(\Omega )}$ — множество непрерывно-дифференцируемых на ${\displaystyle \Omega }$ функций, то есть функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.

Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ -- область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f\in C^{k}(\Omega )}$, ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$. Пусть ${\displaystyle \{K_{p}\}}$ — последовательность компактных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ такая, что ${\displaystyle K_{0}=\varnothing }$, ${\displaystyle K_{p}\subset K_{p+1}}$ и ${\displaystyle \bigcup K_{p}=\Omega }$. Пусть ${\displaystyle \{n_{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных целых чисел и ${\displaystyle m_{p}=\min(k,\;n_{p})}$. Наконец, пусть ${\displaystyle \{\varepsilon _{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция ${\displaystyle g}$, определённая в ${\displaystyle \Omega }$ такая, что для всякого ${\displaystyle p\geqslant 0}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}$

где ${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}}$ обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости, то есть максимума модуля на множестве ${\displaystyle {K_{p+1}\backslash K_{p}}}$) производных функции ${\displaystyle f-g}$ всех порядков от нуля до ${\displaystyle {m_{p}}}$ включительно.

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости. Функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{r,\;\alpha }}$, где ${\displaystyle r}$ — целое неотрицательное число и ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 1}$, если имеет производные до порядка ${\displaystyle r}$ включительно и ${\displaystyle f^{(r)}}$ является гёльдеровской с показателем ${\displaystyle \alpha }$.

В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».

• Кусочно-гладкая функция
• Лемма Адамара
• Лемма Сарда