Производная функции

Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ.

Иллюстрация понятия производной

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией, обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал[1].

Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов, переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée, используемый французским математиком Лагранжем[2].

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R}$ определена функция $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Производной функции называется такое число $A$ , что функцию в окрестности $U(x_{0})$ можно представить в виде

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

если $A$ существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R}$ определена функция $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$ Производной функции $f$ в точке $x_{0}$ называется предел, если он существует,

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.

Общепринятые обозначения производной функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).

Таблица производных

Производные степенных функций	Производные тригонометрических функций	Производные обратных тригонометрических функций	Производные гиперболических функций
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2}})$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2}})$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$	$(\tanh x)'=\operatorname {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$	$(\coth x)'=-\operatorname {csch} x$
	$\left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}$
	$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$
$(\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}$

Дифференцируемость

Производная $f'(x_{0})$ функции $f$ в точке $x_{0}$ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция $f$ является дифференцируемой в точке $x_{0}$ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty

Для дифференцируемой в $x_{0}$ функции $f$ в окрестности $U(x_{0})$ справедливо представление

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

при

x\to x_{0}.

Замечания

Назовём $\Delta x=x-x_{0}$ приращением аргумента функции, а $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ или $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ приращением значения функции в точке $x_{0}.$ Тогда
$f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$
Пусть функция $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ имеет конечную производную в каждой точке $x_{0}\in (a,b).$ Тогда определена произво́дная фу́нкция
$f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .$
Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию $f$ называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: $f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция $f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R}$ имеет конечную производную в точке $x_{0},$ то в окрестности $U(x_{0})$ её можно приблизить линейной функцией

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Функция $f_{l}$ называется касательной к $f$ в точке $x_{0}.$ Число $f'(x_{0})$ является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть $s=s(t)$ — закон прямолинейного движения. Тогда $v(t_{0})=s'(t_{0})$ выражает мгновенную скорость движения в момент времени $t_{0}$ . Новая функция $s'(t)$ также имеет производную. Эта т.н. вторая производная, обозначается как $s''(t)$ , а функция $a(t_{0})=s''(t_{0})$ выражает мгновенное ускорение в момент времени $t_{0}.$

Вообще производная функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ выражает скорость изменения функции в точке $x_{0}$ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью $y=f(x).$

Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).

Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Если функция $f$ дифференцируема в $x_{0}$ , то производная первого порядка определяется соотношением

f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Пусть теперь производная $n$ -го порядка $f^{(n)}$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и дифференцируема. Тогда

f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).

Если функция $u=f(x,y,z)$ имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от $x,y,z,$ может иметь в некоторой точке $(x_{0},y_{0},z_{0})$ частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции $u=f(x,y,z)$ эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

или

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

или

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Класс функций, у которых производная $n$ -порядка является непрерывной, обозначается как $C^{(n)}$ .

Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Лагранжа $f^{(n)}(x_{0})$ , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),

f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),

f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),

и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если $x$ — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

{\dot {x}}(t_{0})

— производная первого порядка

x

по

t

при

t=t_{0}

, или

{\ddot {f}}(x_{0})

— вторая производная

f

по

x

в точке

x_{0}

и т. д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})

, или иногда

\partial ^{n}\!f(x_{0})

.

В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение $f_{x}$ , $f_{xx}$ ; для значения производной в точке — $f_{x}\vert _{x=x_{0}}$ . Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{раз}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{раз}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Примеры

Пусть $f(x)=x^{2}$ . Тогда

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Пусть $f(x)=|x|$ . Тогда если $x_{0}\neq 0,$ то

f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},

где $\operatorname {sgn}$ обозначает функцию знака. А если $x_{0}=0,$ то $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ а следовательно $f'(x_{0})$ не существует.

Теоремы, связанные с дифференцированием

Для непрерывных функций $f,g$ на отрезке $[a,b]$ , дифференцируемых на интервале $(a,b)$ справедливы:

Лемма Ферма. Если $f$ принимает максимальное или минимальное значение в точке $c$ и существует $f'(c)$ , то $f'(c)=0$ .

Теорема о нуле производной. Если $f$ принимает на концах отрезка $[a,b]$ одинаковые значения, то на интервале $(a,b)$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Формула конечных приращений. Для $f$ найдётся точка $c\in (a,b)$ , такая что ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$ .

Теорема Коши о среднем значении. Если $g'$ не равна нулю на интервале $(a,b)$ , то найдётся такая точка $c\in (a,b)$ , что ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$ .

Правило Лопиталя. Если $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ или $\infty$ , причём $g'(x)\neq 0$ для всякого $x$ из некоторой проколотой окрестности $c$ и существует $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ , то $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ .

.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если $C$ — постоянное число и $f=f(x),g=g(x)$ — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Доказательство

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [4]

Доказательство

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}}+g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}})=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Доказательство

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}})}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Если функция задана параметрически:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.$ , то $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}$
Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

(fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},

где

C_{n}^{k}

— биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале $(a,b)$ , то она непрерывна на интервале $(a,b)$ . Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция $y(x)=|x|$ на $[-1,1]$ );
если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном $x$ , то $f'(x)=0$ (это так называемая лемма Ферма);
производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
$(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Доказательство

$y=f(x)^{g(x)}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)$

$y'=f(x)^{g(x)}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}})$ ■

Таблица производных некоторых функций

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
$x^{\alpha }$	$\alpha \cdot x^{\alpha -1}$	Доказательство Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$ , придадим приращение аргументу $\Delta x$ . Вычислим приращение функции: $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)$ , т.о $(x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=$ См. $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Доказательство Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$ , придадим приращение аргументу $\Delta x$ . Вычислим приращение функции: $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ , т.о $(a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=$ См. $=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
$\log _{a}{x}$	${\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$	Доказательство $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a}}}\cdot (\ln {x})'$ Узнаем производную $\ln {x}$ через производную обратной функции: $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}$ Получаем: $(\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$
$\sin x$	$\cos x$	Доказательство Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$ , придадим приращение аргументу $\Delta x$ . Вычислим приращение функции: $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta x-x}{2}})\cdot cos({\frac {x+\Delta +x}{2}})=2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})$ , т.о $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}$ ( См.) $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Доказательство Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$ , придадим приращение аргументу $\Delta x$ . Вычислим приращение функции: $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2}})\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2}})=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})$ , т.о $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}$ ( См.) $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \ x$	${\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$	Доказательство 1 Фиксируем $x\in \mathbb {D} (f)$ , придадим приращение аргументу $\Delta x$ . Вычислим приращение функции: $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ , т.о. $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ ( См.) $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$ Доказательство 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x)}})'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x))}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \ x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$	Доказательство $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x)}})'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x)\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {sec} \ x$	$\mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Доказательство $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x)}})'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \ x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Доказательство $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций. $sin(arcsin((x))=x$ После чего мы должны взять производную этих обеих функций. $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ Теперь мы должны выразить производную арксинуса. $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))}}$ Исходя из тригонометрического тождества( $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ ) — получаем. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}}$ Для того что-бы понять плюс должен стоять или минус нужно взглянуть на область значений косинуса. $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2}};-{\frac {\pi }{2}}]$ Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))}}}$ Получается. $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Доказательство Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества: $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ Получается. $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\mathrm {arctg} \ x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функии: $tg(arctg(x))=x$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))}}\cdot (arctg(x))'=1$ Теперь мы должны выразить производную арктангенса: $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ Теперь на помощь нам придет на помощь тождество( $cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)}}}$ ): $(arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x))}}})^{2}$ Получается. $(arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcctg} \ x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$	Доказательство Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества: $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arctg(x))'+(arcctg(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккотангенса. $(arcctg(x))'=-(arctg(x))'$ Получается. $(arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство Найти производную арксеканса можно при помощи тождества: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Получается. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$	Доказательство Найти производную арккосеканса можна при помощи данного тождества: $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2}}$ Теперь находим производную обеих частей этого тождества. $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2}})'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ Теперь выражаем производную арккосинуса. $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ Получается. $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \ x$	Доказательство $(sh(x))'=({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \ x$	Доказательство $(ch(x))'=({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x)}})'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \ x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x)}})'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \ x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$	Доказательство $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x)}})'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \ x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$	Доказательство $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \ x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$	Доказательство $(arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
$\mathrm {arch} \ x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	Доказательство $(arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\mathrm {arth} \ x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$	Доказательство $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}$
$\mathrm {arcth} \ x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$	Доказательство $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}$
$\mathrm {arsech} \ x$	$-{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}$
$\mathrm {arcsch} \ x$	$-{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}$

Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции $\mathbf {r} (t)$ по параметру:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}

.

Если производная в точке $t$ существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$ .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — производная суммы есть сумма производных.
${\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}$ — здесь $f(t)$ — дифференцируемая скалярная функция.
${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — дифференцирование скалярного произведения.
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — дифференцирование векторного произведения.
${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)$ — дифференцирование смешанного произведения.

Способы задания производных

Производная Джексона[5]:

D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Вариации и обобщения

Обобщения производных

См. также

Примечания

Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 155-156
Комков Г. Д., Левшин Б. В., Семенов Л. К. Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах). — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.
Производная суммы равна сумме производных
Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу
A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

Литература

Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12.
В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Kol-1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 155-156

[2] Комков Г. Д., Левшин Б. В., Семенов Л. К. Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах). — 2-е изд. — М.: Наука, 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.

[3] Производная суммы равна сумме производных

[4] Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

[5] A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi

Словари и энциклопедии	Большая датская Большая норвежская Большая российская Britannica (онлайн) Treccani
В библиографических каталогах	GND: 4233840-2 LCCN: sh2011005437 NDL: 00560650 NKC: ph137564

Производная функции

История

Определение

Определение производной функции через предел

Общепринятые обозначения производной функции y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}}

Таблица производных

Дифференцируемость

Замечания

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой

Скорость изменения функции

Производные высших порядков

Способы записи производных

Примеры

Теоремы, связанные с дифференцированием

Правила дифференцирования

Таблица производных некоторых функций

Производная вектор-функции по параметру

Способы задания производных

Вариации и обобщения

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Общепринятые обозначения производной функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$