Теорема Ролля

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если дифференцируемая функция обращается в ноль в ${\displaystyle n}$ различных точках, то её производная обращается в ноль по крайней мере в ${\displaystyle n-1}$ различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Если все корни многочлена n-ой степени действительные, то и корни всех его производных до ${\displaystyle n-1}$ включительно — также исключительно действительные.

Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений
• Теорема Коши о среднем значении
• Ролль, Мишель

Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.