Формула конечных приращений

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.
Приращение

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть  — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение  — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Конечные и бесконечно малые приращения

Название «конечные приращение» объясняется тем фактом, что, если в формуле , левую часть обозначить как , а в правой части фактор обозначить через , то мы получим формулу в представлении:

что в свою очередь уже очень похоже на определение дифференциала:

с той лишь разницей, что в формуле конечных приращений у нас дана формула нахождения истинного приращения , но через производную в точке , которая находится где-то между и . Если же в формуле устремить к нулю, то в пределе мы получим [1].

Приложения

Вариации и обобщения

Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

  • Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых и существует точка , такая что .

Значит, при всех и верно равенство .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция возрастает/убывает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции .

  • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для малых (то есть тех, для которых отрезок лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

где  — некоторое число из интервала .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

  • Если функция переменных дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

Доказательство для . Зафиксируем значения и и рассмотрим разностные операторы

и .

По теореме Лагранжа существуют числа , такие что

при в силу непрерывности вторых производных функции .

Аналогично доказывается, что .

Но так как , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Доказательство. Пусть  — произвольное разбиение отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков найдём точку такую, что .

Суммируя эти равенства, получим:

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

  • Теорема об оценке конечных приращений. Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области пространства . Тогда .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примечания

  1. Николай Николаевич Лузин. Дифференциальное исчисление / С.И. Новосёлова. — 1-е. — Москва, Б-62, Подсосенский пер. 20: Государственное издательство "Высшая Школа", 1961. — С. 326. — 477 с.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.