Предел функции

Преде́лом фу́нкции (предельным значением функции) в точке, предельной для области определения функции, называется такая величина, к которой значение рассматриваемой функции стремится при стремлении её аргумента к данной точке. Одно из основных понятий математического анализа.

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0,841471
0,1	0,998334
0,01	0,999983

Хотя функция ${\frac {\sin x}{x}}$ в нуле не определена, однако когда $x$ приближается к нулю, её значение становится сколь угодно близко к 1. Иными словами, предел функции в нуле равен 1.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен

L

.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности. Изначально под пределом функции $f(x)$ в точке $x$ понимали предел последовательности значений функции: $f(x_{1}),f(x_{2}),f(x_{3}),\dots$ , соответствующих последовательности элементов области определения функции $x_{1},x_{2},x_{3}\dots$ , сходящейся к точке $x$ . Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в любой окрестности данной точки существуют точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. При этом предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо конкретно указывать способ сходимости функции, для чего вводят так называемую базу подмножеств области определения функции, и тогда определение предела функции формулируют по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Также благодаря рассмотрению расширенной вещественной прямой (на которой базу окрестностей можно построить и для бесконечно удалённой точки) можно определить такие понятия, как предел функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также стремление самой функции к бесконечности. Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента) как раз представляет собой пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции в точке означает, что для любого заданного значения области значений можно подобрать такую окрестность этого значения, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке.

Определения

Рассмотрим функцию $f(x)$ и точку стремления $x_{0},$ являющуюся предельной точкой для области определения $f,$ но не обязанную ей принадлежать. Существуют несколько равносильных определений предела функции — среди них есть сформулированные Гейне и Коши.

Предел функции по Гейне

Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_{0},$ если для любой последовательности точек $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ , сходящейся к $x_{0}$ , но не содержащей $x_{0}$ в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности $x_{0}$ ), последовательность значений функции $\{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к $A$ [1].

Предел функции по Коши

Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_{0},$ если для любого положительного числа $\varepsilon$ можно подобрать соответствующее ему положительное число $\delta =\delta (\varepsilon )$ такое, что для всех аргументов $x$ , удовлетворяющих условию $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta ,$ выполняется неравенство: $0\leqslant |f(x)-A|<\varepsilon ,$ то есть $|f(x)-A|<\varepsilon$ [1].

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow {\Big [}\forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta {\big (}\varepsilon )>0\colon ~\forall x\colon ~(0<|x-x_{0}|<\delta {\big )}\Rightarrow {\big (}|f(x)-A|<\varepsilon {\big )}{\Big ]},

где:

Окрестностное определение предела по Коши

Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_{0},$ если для любой окрестности $O(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность ${\dot {O}}(x_{0})$ точки $x_{0}$ такая, что образ этой окрестности $f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )}$ лежит в $O(A)$ . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье «Предел вдоль фильтра».

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A\Leftrightarrow {\big [}\forall O(A)\colon ~\exists {\dot {O}}(x_{0})\colon ~f{\big (}{\dot {O}}(x_{0}){\big )}\subseteq O(A){\big ]}.

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру).

Пусть ${\mathcal {B}}$ — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

число $A$ называется пределом функции по (при) базе ${\mathcal {B}}$ , если для всякого $\varepsilon >0$ найдётся такой элемент $B$ базы, что для любого $x\in B$ выполнено $|f(x)-A|<\varepsilon$ .

Если $a$ — предельная точка множества $E$ , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве $E$ не пуста, а значит, существует база проколотых окрестностей в точке $a$ . Эта база имеет специальное обозначение « $x\to a,x\in E$ » и читается «при $x$ , стремящемся к $a$ по множеству $E$ ». Если область определения функции $f$ совпадает с $\mathbb {R}$ , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « $x\to a$ » и читается «при $x$ , стремящемся к $a$ ».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

$E_{a}^{-}=E\cap \mathbb {R} _{a}^{-}$ , где $\mathbb {R} _{a}^{-}=\{x\in \mathbb {R} \colon x<a\}$ ;
$E_{a}^{+}=E\cap \mathbb {R} _{a}^{+}$ , где $\mathbb {R} _{a}^{+}=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\}$ .

Соответственно этому вводятся две базы:

« $x\to a,x\in E_{a}^{-}$ », которая коротко обозначается в виде « $x\to a-,x\in E$ » или ещё проще « $x\to a-$ »;
« $x\to a,x\in E_{a}^{+}$ », которая коротко обозначается в виде « $x\to a+,x\in E$ » или ещё проще « $x\to a+$ ».

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны[1]. Для доказательства этого необходимо и достаточно принять счётную аксиому выбора. Однако в иных формальных системах, например в конструктивной математике, эквивалентность опровергается на примерах.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция вещественной переменной имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значений функции, когда по модулю её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

Пусть числовая функция $f(x)$ задана на множестве $X$ , в котором может находиться сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $\delta$ найдётся элемент множества $X,$ лежащий за границами отрезка $\left[-\delta ,+\delta \right]$ . В этом случае число $A$ называется пределом функции $f(x)$ на бесконечности, если для всякой последовательности точек $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },$ которая начиная с некоторого номера n будет по модулю неограниченно расти, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к числу $A.$
$\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$
Пусть числовая функция $f(x)$ задана на множестве $X$ , в котором для любого числа $\delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $A$ называется пределом функции $f(x)$ на плюс бесконечности, если для всякой последовательности точек $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },$ которая начиная с некоторого номера n будет неограниченно расти в положительную сторону, соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\{f(x_{n})\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к числу $A$ .
$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon (\exists k\in \mathbb {N} \colon ~\forall l\in \mathbb {N} \colon ~l>k\Rightarrow x_{l}>0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )},$

где $\land$ — конъюнкция.
Пусть числовая функция $f\left(x\right)$ задана на множестве $X$ , в котором для любого числа $\delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ на минус бесконечности только при условии, что для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }$ сходится к числу $A$ .
$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\colon (\exists k\in \mathbb {N} \colon ~\forall l\in \mathbb {N} \colon ~l>k\Rightarrow x_{l}<0)\land {\Big (}{\lim _{n\to \infty }}x_{n}=\infty \Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=A{\Big )}.$

Предел на бесконечности по Коши

Пусть числовая функция $f(x)$ задана на множестве $X$ , в котором найдётся сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного $\delta$ в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка $[-\delta ,+\delta ]$ . В этом случае число $A$ называется пределом функции $f(x)$ на бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon$ отыщется отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех точек, превышающих $\delta$ по абсолютному значению, справедливо неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$ .
$\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x\in X\colon ~|x|>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Пусть числовая функция $f(x)$ задана на множестве $X$ , в котором для любого числа $\delta$ найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число $A$ называется пределом функции $f(x)$ на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех точек, лежащих правее $\delta$ , справедливо неравенство $|f(x)-A|<\varepsilon$ .
$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x\in X\colon ~x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$
Пусть числовая функция $f\left(x\right)$ задана на множестве $X$ , в котором для любого числа $\delta$ найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta$ такое, что для всех точек, лежащих левее $\left(-\delta \right)$ , справедливо неравенство $\left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$ .
$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\colon ~\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\colon ~\forall x\in X\colon ~x<-\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon .$

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $X$ , имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка $A$ называется пределом функции $f(x)$ на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся такая достаточно большая окрестность нуля, что все значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки $A$ .

\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall O(A)\colon ~\exists O(0)\colon ~f{\big (}X\setminus O(0){\big )}\subseteq O(A)

Частичный предел

Для функции, как и для последовательности, можно ввести понятие частичного предела. Число $l$ называется частичным пределом функции $f(x)$ в точке $x_{0},$ если существует такая бесконечная подпоследовательность последовательности $x_{n}\to x_{0},x_{n}\neq x_{0},$ «проходя» по которой с неограниченным увеличением номера функция $f(x)$ стремится к $l.$ Наибольший из частичных пределов называется верхним пределом функции $f(x)$ в точке $x_{0}$ и обозначается $\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x),$ наименьший из частичных пределов называется нижним пределом функции $f(x)$ в точке $x_{0}$ и обозначается $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x).$ Для существования предела функции в точке $x_{0}$ необходимо и достаточно, чтобы $\varliminf _{x_{n}\to x_{0}}f(x)=\varlimsup _{x_{n}\to x_{0}}f(x)$ [2].

Обозначения

Если в точке $x_{0}$ у функции $f(x)$ существует предел, равный $A$ , то говорят, что функция $f(x)$ стремится к $A$ при стремлении $x$ к $x_{0}$ , и пишут одним из следующих способов:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A;$
или $f(x)~{\xrightarrow[{x\to x_{0}}]{}}A.$

Если у функции $f(x)$ существует предел на бесконечности, равный $A$ , то говорят, что функция $f(x)$ стремится к $A$ при стремлении $x$ к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

$\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)=A;$
или $f(x)~{\xrightarrow[{x\to \infty }]{}}A.$

Если у функции $f(x)$ существует предел на плюс бесконечности, равный $A$ , то говорят, что функция $f(x)$ стремится к $A$ при стремлении $x$ к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=A;$
или $f(x)~{\xrightarrow[{x\to +\infty }]{}}A.$

Если у функции $f(x)$ существует предел на минус бесконечности, равный $A$ , то говорят, что функция $f(x)$ стремится к $A$ при стремлении $x$ к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A;$
или $f(x)~{\xrightarrow[{x\to -\infty }]{}}A.$

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны числовые функции $f,g\colon M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ и точка стремления $a\in M'.$ ^{[прояснить]}

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
$\left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{1}\right)\land \left(\lim _{x\to a}f(x)=A_{2}\right)\Rightarrow (A_{1}=A_{2})$

Доказательство

$\blacktriangleleft$ Доказательство методом от противного. Пусть существует $\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{1}$ и $\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{2}$ и $A_{1}\not =A_{2}$ .

Предположим $A_{1}<A_{2}$ . Возьмём $\varepsilon ={\frac {A_{2}-A_{1}}{2}}>0$ и запишем определения:

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{1}\Rightarrow \exists \delta _{1}=\delta _{1}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{1}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{1}|<\varepsilon$ .

$\lim \limits _{x\to a}f(x)=A_{2}\Rightarrow \exists \delta _{2}=\delta _{2}(\varepsilon )>0\;\forall x\in {\dot {U}}_{\delta _{2}}(a)\cap M\Rightarrow |f(x)-A_{2}|<\varepsilon$ .

Пускай $\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})>0$ , тогда $\forall x\in {\dot {U}}_{\delta }(a)\cap M$ : $|f(x)-A_{1}|<\varepsilon$ и $|f(x)-A_{2}|<\varepsilon$

но тогда $|A_{2}-A_{1}|=|(A_{2}-f(x))+(f(x)-A_{1})|\leq |A_{2}-f(x)|+|f(x)-A_{1}|<2\varepsilon =A_{2}-A_{1}$

то есть $|A_{2}-A_{1}|<A_{2}-A_{1}\Rightarrow$ Противоречие. Значит предел единственный. $\blacktriangleright$

Сходящаяся функция сохраняет знак только локально и никак иначе. Более общо́:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge (A>B)\Rightarrow \left(\exists \epsilon >0\colon ~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\colon ~f(x)>B\right),$

где

{\dot {U}}_{\epsilon }(a)

— проколотая окрестность точки

a

радиуса

\epsilon .

В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A>0\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0\colon ~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\colon ~f(x)>0\right).$

Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\Rightarrow \left(\exists \varepsilon >0\colon ~\exists K>0\colon ~\forall x\in {\dot {U}}_{\epsilon }(a)\cap M\colon ~|f(x)|\leqslant K\right).$

Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
$\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)=A\neq 0\Rightarrow \exists \delta >0\colon ~\forall x\in {\dot {U}}_{\delta }(a)\colon ~|f(x)|\geqslant {\frac {A}{2}}.$

Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
$\left(\exists \varepsilon >0\colon ~\forall x\in {\dot {U}}_{\varepsilon }(a)\colon ~f(x)\leqslant g(x)\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow (A\leqslant B).$
- Строгие неравенства при переходе к пределу могут не сохраниться. Пример: $f(x)=x^{2};\ g(x)=|x|.$ В близкой окрестности нуля $f(x)<g(x),$ но их пределы в нуле совпадают.

Теорема о двух милиционерах.

Правило Лопиталя: если $f(x),\,g(x)$ $\text{[math]}$ — действительнозначные функции, дифференцируемые в проколотой окрестности $U$ $\text{[math]}$ точки $a$ $\text{[math]}$ , где $a$ $\text{[math]}$ — действительное число или один из элементов $+\infty ,-\infty ,\infty$ $\text{[math]}$ , причём
1. $\lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0$ или $\infty$ ;
2. $g'(x)\neq 0$ в $U$ ;
3. существует $\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ;

тогда существует

\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

.

Предел суммы равен сумме пределов:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)+g(x){\bigr ]}=A+B\right);$

Предел разности равен разности пределов:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)-g(x){\bigr ]}=A-B\right);$

Предел произведения равен произведению пределов:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}{\bigl [}f(x)\cdot g(x){\bigr ]}=A\cdot B\right);$

Предел частного равен частному пределов:
$\left(\lim \limits _{x\to a}f(x)=A\right)\wedge \left(\lim \limits _{x\to a}g(x)=B\neq 0\right)\Rightarrow \left(\lim \limits _{x\to a}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {A}{B}}\right);$

Предел композиции:
$\lim _{x\to a}f(x)=A,\;\lim _{y\to A}g(y)=B\;\Rightarrow \;\lim _{x\to a}g\left(f(x)\right)=B.$

Примеры

Константная функция имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен самой константе.
$\forall x_{0}\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to x_{0}}c=c.$
Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел, равный этой точке.
$\forall x_{0}\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to x_{0}}{\text{id }}x=\lim _{x\to x_{0}}x=x_{0}.$
Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.
$\forall x_{0}\in \mathbb {R} \colon ~\not \exists \lim _{x\to x_{0}}D\left(x\right).$
Функция Римана не имеет предела только в рациональных точках.
$x_{0}\in \mathbb {Q} \Leftrightarrow \not \exists \lim _{x\to x_{0}}R\left(x\right)=0.$
Функция $1/x$ имеет предел на бесконечности, равный нулю.
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0.$
Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.
$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} ~x=+{\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} ~x=-{\frac {\pi }{2}},$

$\not \exists \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} ~x.$

См. также

Примечания

В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 47.

Литература

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 482—483. — 847 с.
Зорич В. А. Математический анализ. — М..

Ссылки

Предел функции . Габович. И. Квант.1980 №10
Предел функции в точке. Теоретическая справка

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[ilyin-1] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

[2] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — С. 47.