Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно $+\infty$ или $-\infty$ .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.[1] Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

Обозначения

Нижний предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ :

$\varliminf _{n\to \infty }x_{n}$ (в отечественной литературе);

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ :

$\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$ (в отечественной литературе);

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}$ (в иностранной литературе).

Примеры

$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nexists \varliminf _{n\to \infty }n,\nexists \varlimsup _{n\to \infty }n$ (в другой терминологии оба предела равны $+\infty$ )

Свойства

Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны[lower-alpha 1].
У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать $-\infty$ и $+\infty$ допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
Числовая последовательность $\{x_{n}\}$ сходится к $a$ тогда и только тогда, когда $\varliminf _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }{x_{n}}=a$ .
Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ , начиная с некоторого номера, зависящего от $\varepsilon$ , лежат внутри интервала $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)$ .
Если за пределами интервала $\left(a,b\right)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ , то интервал $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)$ содержится в интервале $\left(a,b\right)$ .
Множество частичных пределов замкнуто.

Примечания

При этом следует помнить, что элемент, встречающийся в последовательности бесконечное число раз, является предельной точкой этой последовательности (в отличие от предельной точки множества).

Источники

В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[2] При этом следует помнить, что элемент, встречающийся в последовательности бесконечное число раз, является предельной точкой этой последовательности (в отличие от предельной точки множества).

[ilyin-1] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.