Теорема о двух милиционерах

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Если функция $y=f(x)$ такая, что $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ для всех $x$ в некоторой окрестности точки $a$ , причём функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ имеют одинаковый предел при $x\to a$ , то существует предел функции $y=f(x)$ при $x\to a$ , равный этому же значению, то есть

$\lim _{x\to a}\varphi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=A.$

Графики функций

{\color {OliveGreen}y=x^{2}}

,

{\color {Blue}y=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}

и

{\color {Orange}y=-x^{2}}

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность $a_{n}$ такая, что $b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ для всех $n$ , причём последовательности $b_{n}$ и $c_{n}$ имеют одинаковый предел при $n\to \infty$ , то существует предел последовательности $a_{n}$ при $n\to \infty$ , равный этому же значению, то есть

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=A\Rightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}=A.$

Доказательство

Из неравенства $\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ получаем неравенство $\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ . Условие $\lim \limits _{x\to a}\varphi (x)=A=\lim \limits _{x\to a}\psi (x)$ позволяет сказать, что для любого $\varepsilon >0$ существует окрестность $U_{a}$ , в которой верны неравенства $\left|\varphi (x)-A\right|<\varepsilon$ и $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$ . Из изложенных выше неравенств следует, что $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$ при $x\in U_{a}$ , что удовлетворяет определению предела, то есть $\lim \limits _{x\to a}f(x)=A$ [1].

Название и зарубежная терминология

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера под руки ведут задержанного в участок, то он вынужден идти вместе с ними.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. также

Примечания

Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. — М.: АСТ; Астрель, 2007. — С. 121—122. — ISBN 978-5-17-004601-0. — ISBN 978-5-271-01318-8. — ISBN 978-985-16-4561-5.

Ссылки

Обсуждение названия теоремы в разных странах

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[доказательство-1] Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. — М.: АСТ; Астрель, 2007. — С. 121—122. — ISBN 978-5-17-004601-0. — ISBN 978-5-271-01318-8. — ISBN 978-985-16-4561-5.