Аксиома счётного выбора

Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств можно построить последовательность их представителей при этом множества могут быть бесконечными и даже несчётными[1].

Пусть каждое из множеств непусто. Аксиома счётного выбора утверждает, что можно взять по одному элементу из каждого множества и выстроить их в последовательность

Место аксиомы в математике

Аксиома счётного выбора представляет собой ограниченный вариант полной аксиомы выбора (), в отличие от последней она утверждает существование функции выбора только для счётного семейства множеств. Как доказал Пол Коэн, аксиома счётного выбора независима от других аксиом теории множеств (без аксиомы выбора)[2]. В отличие от полной аксиомы выбора, аксиома счётного выбора не приводит к парадоксу удвоения шара или иным противоречащим интуиции следствиям.

Аксиома счётного выбора достаточна для обоснования основных теорем анализа. Из неё следует, в частности[3]:

  • для любой предельной точки существует сходящаяся к ней последовательность;
  • мера Лебега счётно-аддитивна;
  • всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Однако значительная часть утверждений теории множеств не может быть доказана с помощью аксиомы счётного выбора. Например, чтобы доказать, что каждое множество может быть вполне упорядочено, требуется полная аксиома выбора.

Существует несколько усиленный вариант называемый «аксиома зависимого выбора» (). Аксиома счётного выбора вытекает из неё, а также из аксиомы детерминированности ().

Литература

Примечания
  1. Кановей В. Г., 1984, с. 9.
  2. Potter, 2004, с. 164.
  3. Кановей В. Г., 1984, с. 6, 9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.