Импликация

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$. Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} }$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция ${\displaystyle A\to B}$ — это сокращённая запись выражения ${\displaystyle \neg A\lor B}$.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, ${\displaystyle \neg A\lor B}$) (материальная импликация, материальный кондиционал)

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\to b,a\leqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a, ${\displaystyle A\lor (\neg B)}$)

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\geqslant b}$, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации (${\displaystyle A\land (\neg B)}$)

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\to b),a>b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a>b}$, то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (${\displaystyle \lnot A\land B}$), разряд займа в двоичном полувычитателе.

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\leftarrow b),a<b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a<b}$, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ${\displaystyle \Rightarrow }$, и ей соответствует вложение множеств: пусть ${\displaystyle A\subset B}$, тогда

${\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}$

Например, если ${\displaystyle A}$ — множество всех квадратов, а ${\displaystyle B}$ — множество прямоугольников, то, конечно, ${\displaystyle A\subset B}$ и

(a — квадрат) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации ${\displaystyle A\rightarrow B}$ формуле ${\displaystyle \neg A\lor B}$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ${\displaystyle \neg (A\land \neg B)}$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде ${\displaystyle A\rightarrow \nvDash }$, где ${\displaystyle \nvDash }$ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Исключающее «или»
• Эквиваленция
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Отрицание

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.

• Импликация и эквивалентность
• Импликация в учебнике MathIt