Обратная теорема

Обратная теорема или обратное утверждение к данной теореме — это утверждение, в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.[1]

Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обоих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения.[1]

Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow B$ , в которой посылка $A$ является условием теоремы, а следствие $B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде $B\Rightarrow A$ является обратной к ней[2].

Часто используется более общее определение обратной теоремы: если $(A\land C)\Rightarrow B$ является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема $B\Rightarrow (A\land C)$ , но и теоремы $(B\land A)\Rightarrow C$ , $(B\land C)\Rightarrow A$ [3].

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$ , а заключением $Y\Rightarrow Z$ : $A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$ , то для обратной теоремы существует пять форм:[4]

$(Y\Rightarrow Z)\Rightarrow A$
$(A\Rightarrow Z)\Rightarrow Y$
$Z\Rightarrow (A\And Y)$
$A\Rightarrow (Z\Rightarrow Y)$
$Y\Rightarrow (Z\Rightarrow A)$

Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

Свойства

Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})$
Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})$ [5]

Примеры

Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$ , $b$ и $c$ угол, противолежащий стороне $c$ , прямой, то $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$ , $b$ и $c$ выполняется $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , то угол, противолежащий стороне $c$ , прямой.

См. также

Противоположная теорема

Примечания

Обратная теорема // Математический энциклопедический словарь / под ред. Прохорова Ю. В. — М., Советская энциклопедия, 1988. — c. 423
Эдельман, 1975, с. 32.
Гиндикин, 1972, с. 19.
Градштейн, 1965, с. 92.
Эдельман, 1975, с. 33.

Литература

Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Enz-1] Обратная теорема // Математический энциклопедический словарь / под ред. Прохорова Ю. В. — М., Советская энциклопедия, 1988. — c. 423

[_e13511bcb2fb8e5f-2] Эдельман, 1975, с. 32.

[_56cf19ffcd51b98d-3] Гиндикин, 1972, с. 19.

[_2f7917153892a0e4-4] Градштейн, 1965, с. 92.

[_e13511bcb2fb8e5e-5] Эдельман, 1975, с. 33.