Дизъюнктивная нормальная форма

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Примеры

Формулы в ДНФ:

A\lor B

(A\land B)\lor {\overline {A}}

(A\land B\land {\overline {C}})\lor ({\overline {D}}\land E\land F)\lor (C\land D)\lor B

Формулы не в ДНФ:

{\overline {(A\lor B)}}

A\lor (B\land (C\lor D))

Но последние две формулы эквивалентны следующим формулам в ДНФ:

{\overline {A}}\land {\overline {B}}

A\lor (B\land C)\lor (B\land D).

Построение ДНФ

Алгоритм построения ДНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A\rightarrow B=\neg A\vee B

A\leftrightarrow B=(A\wedge B)\vee (\neg A\wedge \neg B)

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

\neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B

\neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения ДНФ

Приведем к ДНФ формулу $F=\neg ((X\rightarrow Y)\vee \neg (Y\rightarrow Z))$

Выразим логическую операцию → через $\vee \wedge \neg$

F=\neg ((\neg X\vee Y)\vee \neg (\neg Y\vee Z))

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

F=(\neg \neg X\wedge \neg Y)\wedge (\neg Y\vee Z)=(X\wedge \neg Y)\wedge (\neg Y\vee Z)

Используя закон дистрибутивности, получаем:

F=(X\wedge \neg Y\wedge \neg Y)\vee (X\wedge \neg Y\wedge Z)

Используя идемпотентность конъюкции, получаем ДНФ:

F=(X\wedge \neg Y)\vee (X\wedge \neg Y\wedge Z)

k-дизъюнктивная нормальная форма

k-дизъюнктивной нормальной формой называют дизъюнктивную нормальную форму, в которой каждая конъюнкция содержит ровно k литералов.

Например, следующая формула записана в 2-ДНФ:

(A\land B)\lor (\neg B\land C)\lor (B\land \neg C)

Переход от ДНФ к СДНФ

Если в какой-то простой конъюнкции недостаёт переменной, например, Z, вставляем в неё выражение

Z\vee \neg Z=1

,

после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем, так как $Z\vee Z=Z$ по закону идемпотентности). Например:

X\vee \neg Y\neg Z=X(Y\vee \neg Y)(Z\vee \neg Z)\vee (X\vee \neg X)\neg Y\neg Z=

XYZ\vee X\neg YZ\vee XY\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee \neg X\neg Y\neg Z=

=XYZ\vee X\neg YZ\vee XY\neg Z\vee X\neg Y\neg Z\vee \neg X\neg Y\neg Z

Таким образом, из ДНФ получили СДНФ.

Формальная грамматика, описывающая ДНФ

Следующая формальная грамматика описывает все формулы, приведенные к ДНФ:

<ДНФ> → <конъюнкт>

<ДНФ> → <ДНФ> ∨ <конъюнкт>

<конъюнкт> → <литерал>

<конъюнкт> → (<конъюнкт> ∧ <литерал>)

<литерал> → <терм>

<литерал> → ¬<терм>

где <терм> обозначает произвольную булеву переменную.

Особенности обозначений

Следует отметить, что для удобства восприятия в качестве обозначения конъюнкции и дизъюнкции часто используют символы арифметического умножения и сложения, при этом символ умножения часто опускается. В этом случае формулы булевой алгебры выглядят как алгебраические полиномы, что более привычно для глаза, однако иногда может привести к недоразумениям.

Например, следующие записи эквивалентны:

(A\land B\land {\overline {C}})\lor ({\overline {D}}\land E\land F)\lor (C\land D)\lor B;

(A\cdot B\cdot {\overline {C}})\lor ({\overline {D}}\cdot E\cdot F)\lor (C\cdot D)\lor B;

AB{\overline {C}}\lor {\overline {D}}EF\lor CD\lor B;

AB{\overline {C}}+{\overline {D}}EF+CD+B.

По этой причине ДНФ в русскоязычной литературе иногда называют «суммой произведений», что является калькой с английского термина «sum of products».

См. также

Примечания

Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.

Литература

Ю.И. Галушкина, А.Н. Марьямов: Конспект лекций по дискретной математике - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2008. - 176 с. - (Высшее образование).

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[nf-1] Поздняков С.Н., Рыбин С.В. Дискретная математика. — С. 303.